ペル方程式の範囲内と考えられるのは[5]

[5]c^2-12a^2=+1,c^2-2b^2=-1,b^2-6a^2=+1

(c,a)=(7,2)

(c,b)=(1,1)

(b,a)=(5,2)

m=24が解であることはわかったが、唯一であることは証明できるだろうか？

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ａn^2−６ｂn^2＝−１

が成り立つ最小解は（ａ，ｂ）＝（５，２）であることから，

　　（１＋√６）^n＝ａn＋ｂn√６

　　（１−√６）^n＝ａn−ｂn√６

を満足させるような整数列｛ａn｝，｛ｂn｝を考えます．これらの数列は

　　ａn^2−６ｂn^2＝（１）^n

となる関係式で結ばれていて，

　　ａn／ｂn→　√６

ですから，√６に最も近い最良近似分数を与えることがわかります．

しかし、符号が交互に代わるため

　　ａn+1＋ｂn+1√６＝（１＋√６）^n（ａn＋ｂn√６）

　　　　　　　　　　＝（ａn＋６ｂn）＋（ａn＋ｂn）√２

より

　　ａn+1＝ａn＋６ｂn，ｂn+1＝ａn＋ｂn

　　ａn+1＝ａn＋６ｂn＝ａn＋６（ａn-1＋ｂn-1）

　＝ａn＋５ａn-1＋（ａn-1＋６ｂn-1）＝２ａn＋５ａn-1

　　ｂn+1＝ａn＋ｂn＝（ａn-1＋６ｂn-1）＋ｂn

　＝（ａn-1＋ｂn-1）＋５ｂn-1＋ｂn＝２ｂn＋５ｂn-1

これより，

　　ａn+1＝２ａn＋５ａn-1，ｂn+1＝２ｂn＋５ｂn-1

(a1,b1)=(5.2)

(a2,b2)=(16,7)

(a3,b3)=(57,24)

(a4,b4)=(194,83)

(a5,b5)=(673,286)

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α，βを２次方程式ｘ^2−２ｘ−５＝０の根１±√６として，

　　ａn+1−αａn＝β（ａn−αａn-1）＝β^2（ａn-1−αａn-2）＝・・・＝β^(n-1)（ａ2−αａ1）

α，βを入れ替えると

　　ａn+1−βａn＝α^(n-1)（ａ2−βａ1）

　　ａn+1−αａn＝β^(n-1)（ａ2−αａ1）

したがって，整数列｛ａn｝の一般項は

　　ａn＝｛α^(n-1)（ａ2−βａ1）−β^(n-1)（ａ2−αａ1）｝／（α−β）

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[5]c^2-12a^2=+1,c^2-2b^2=-1,b^2-6a^2=+1

の解は(a,b,c)=(2,5,7)だけと考えてもよさそうな結果である。

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