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リュカの問題の初等的証明（その１８）
■リュカの問題の初等的証明（その１８）
ペル方程式の範囲内と考えられるのは[5]
[5]c^2-12a^2=+1,c^2-2b^2=-1,b^2-6a^2=+1
(c,a)=(7,2)
(c,b)=(1,1)
(b,a)=(5,2)
m=24が解であることはわかったが、唯一であることは証明できるだろうか？
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ａn^2−１２ｂn^2＝１
が成り立つ最小解は（ａ，ｂ）＝（７，２）であることから，
（１＋√１２）^n＝ａn＋ｂn√１２
（１−√１２）^n＝ａn−ｂn√１２
を満足させるような整数列｛ａn｝，｛ｂn｝を考えます．これらの数列は
ａn^2−１２ｂn^2＝１^n
となる関係式で結ばれていて，
ａn／ｂn→ √１２
ですから，√１２に最も近い最良近似分数を与えることがわかります．
しかし、符号が交互に代わるため
ａn+1＋ｂn+1√１２＝（１＋√１２）^n（ａn＋ｂn√１２）
＝（ａn＋１２ｂn）＋（ａn＋ｂn）√１２
より
ａn+1＝ａn＋１２ｂn，ｂn+1＝ａn＋ｂn
ａn+1＝ａn＋１２ｂn＝ａn＋１２（ａn-1＋ｂn-1）
＝ａn＋１１ａn-1＋（ａn-1＋１２ｂn-1）＝２ａn＋１１ａn-1
ｂn+1＝ａn＋ｂn＝（ａn-1＋１２ｂn-1）＋ｂn
＝（ａn-1＋ｂn-1）＋１１ｂn-1＋ｂn＝２ｂn＋１１ｂn-1
これより，
ａn+1＝２ａn＋１１ａn-1，ｂn+1＝２ｂn＋１１ｂn-1
(a1,b1)=(7,2)
(a2,b2)=(31,9)
(a3,b3)=(139,40)
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α，βを２次方程式ｘ^2−２ｘ−１１＝０の根１±２√３として，
ａn+1−αａn＝β（ａn−αａn-1）＝β^2（ａn-1−αａn-2）＝・・・＝β^(n-1)（ａ2−αａ1）
α，βを入れ替えると
ａn+1−βａn＝α^(n-1)（ａ2−βａ1）
ａn+1−αａn＝β^(n-1)（ａ2−αａ1）
したがって，整数列｛ａn｝の一般項は
ａn＝｛α^(n-1)（ａ2−βａ1）−β^(n-1)（ａ2−αａ1）｝／（α−β）
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