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リュカの問題の初等的証明（その１７）
■リュカの問題の初等的証明（その１７）
ペル方程式の範囲内と考えられるのは[5]
[5]c^2-12a^2=+1,c^2-2b^2=-1,b^2-6a^2=+1
(c,a)=(7,2)
(c,b)=(1,1)
(b,a)=(5,2)
m=24が解であることはわかったが、唯一であることは証明できるだろうか？
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ａn^2−２ｂn^2＝−１
が成り立つ最小解は（ａ，ｂ）＝（１，１）であることから，
（１＋√２）^n＝ａn＋ｂn√２
（１−√２）^n＝ａn−ｂn√２
を満足させるような整数列｛ａn｝，｛ｂn｝を考えます．これらの数列は
ａn^2−２ｂn^2＝（−１）^n
となる関係式で結ばれていて，
ａn／ｂn→ √２
ですから，√２に最も近い最良近似分数を与えることがわかります．
しかし、符号が交互に代わるため
ａn+1＋ｂn+1√２＝（１＋√２）（３＋√２）^n-1（ａn＋ｂn√２）
＝（３ａn＋４ｂn）＋（２ａn＋３ｂn）√２
より
ａn+1＝３ａn＋４ｂn，ｂn+1＝２ａn＋３ｂn
ａn+1＝３ａn＋４ｂn＝３ａn＋４（２ａn-1＋３ｂn-1）
＝３ａnーａn-1＋３（３ａn-1＋４ｂn-1）＝６ａnーａn-1
ｂn+1＝２ａn＋３ｂn＝２（３ａn-1＋４ｂn-1）＋３ｂn
＝３（２ａn-1＋３ｂn-1）ーｂn-1＋２ｂn＝６ｂnーｂn-1
これより，
ａn+1＝６ａnーａn-1，ｂn+1＝６ｂnーｂn-1
(a1,b1)=(1,1)
(a2,b2)=(7,5)
(a3,b3)=(41,29)
(a4,b4)=(239,169)
(a5,b5)=(1393,985)
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α，βを２次方程式ｘ^2−６ｘ＋１＝０の根３±２√２として，
ａn+1−αａn＝β（ａn−αａn-1）＝β^2（ａn-1−αａn-2）＝・・・＝β^(n-1)（ａ2−αａ1）
α，βを入れ替えると
ａn+1−βａn＝α^(n-1)（ａ2−βａ1）
ａn+1−αａn＝β^(n-1)（ａ2−αａ1）
したがって，整数列｛ａn｝の一般項は
ａn＝｛α^(n-1)（ａ2−βａ1）−β^(n-1)（ａ2−αａ1）｝／（α−β）
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