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リュカの問題の初等的証明（その１３）
■リュカの問題の初等的証明（その１３）
ペル方程式の範囲内と考えられるのは[5]
[5]c^2-12a^2=+1,c^2-2b^2=-1,b^2-6a^2=+1
(c,a)=(7,2)
(c,b)=(1,1)
(b,a)=(5,2)
m=24が解であることはわかったが、唯一であることは証明できるだろうか？
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ａn^2−２ｂn^2＝−１
が成り立つ最小解は（ａ，ｂ）＝（１，１）であることから，
（１＋√２）^n＝ａn＋ｂn√２
（１−√２）^n＝ａn−ｂn√２
を満足させるような整数列｛ａn｝，｛ｂn｝を考えます．これらの数列は
ａn^2−２ｂn^2＝（−１）^n
となる関係式で結ばれていて，
ａn／ｂn→ √２
ですから，√２に最も近い最良近似分数を与えることがわかります．
ａn+1＋ｂn+1√２＝（１＋√２）^n（ａn＋ｂn√２）
＝（ａn＋２ｂn）＋（ａn＋ｂn）√２
より
ａn+1＝ａn＋２ｂn，ｂn+1＝ａn＋ｂn
ａn+1＝ａn＋２ｂn＝ａn＋２（ａn-1＋ｂn-1）
＝ａn＋ａn-1＋（ａn-1＋２ｂn-1）＝２ａn＋ａn-1
ｂn+1＝ａn＋ｂn＝（ａn-1＋２ｂn-1）＋ｂn
＝（ａn-1＋ｂn-1）＋ｂn＋ｂn-1＝２ｂn＋ｂn-1
これより，
ａn+1＝２ａn＋ａn-1，ｂn+1＝２ｂn＋ｂn-1
α，βを２次方程式ｘ^2−２ｘ−１＝０の根１±√２として，
ａn+1−αａn＝β（ａn−αａn-1）＝β^2（ａn-1−αａn-2）＝・・・＝β^(n-1)（ａ2−αａ1）
α，βを入れ替えると
ａn+1−βａn＝α^(n-1)（ａ2−βａ1）
ａn+1−αａn＝β^(n-1)（ａ2−αａ1）
したがって，整数列｛ａn｝の一般項は
ａn＝｛α^(n-1)（ａ2−βａ1）−β^(n-1)（ａ2−αａ1）｝／（α−β）
α＝１＋√２，β＝１−√２，初期値をａ1＝１，ａ2＝３とすると
ａn＝１／２｛（１＋√２）^n＋（１−√２）^n｝
整数列｛ｂn｝でも同じ漸化式ですから，同じ一般項になります．
ｂn＝｛α^(n-1)（ｂ2−βｂ1）−β^(n-1)（ｂ2−αｂ1）｝／（α−β）
初期値をｂ1＝１，ｂ2＝２とすると
ｂn＝１／２√２｛（１＋√２）^n−（１−√２）^n｝
ここで，ｎ→∞のとき（１−√２）^n→０ですから
ａn／ｂn→ √２
となるのを確かめることができます．
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