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リュカの問題の初等的証明（その１１）
■リュカの問題の初等的証明（その１１）
【１】リュカの問題
１^2＋２^2＋３^2＋・・・＋２４^2＝２４（２４＋１）（２・２４＋１）／６＝７０^2
は，最初の２４個の平方数の合計が平方数になっているという面白い式です．驚異的ですらあります．
級数の公式：Σｋ^2＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６をご存じの方も多いでしょうが，１からｎまでの平方の和が平方数となるのはｎが１か２４の場合しかありません．四面体数＝四角数あるいは２５平方の等式ともいうべきこの等式はリュカの問題（１８７３年）として知られています．
ｙ^2＝ｘ（ｘ＋１）（２ｘ＋１）／６の唯一自明でない整数解は（２４，７０）で，それ以外の自明な解がないことは楕円関数やペル方程式を使って証明されています．すなわち，１より大きい数でこれが起こるのは２４だけで，それ以外の数では決して最初の２個の平方の和は平方数にはならないのです．
（２４，７０）以外に解は存在しないことの証明は，１９１８年にワトソンにより楕円関数論を用いてなされましたが，初等的証明も発見されているそうです．
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［Ｑ］１^2＋２^2＋３^2＋・・・＋ｍ^2＝ｍ（ｍ＋１）（２ｍ＋１）／６＝ｎ^2，ｍは６の倍数で，ｎ＜１００という制限をつけて，ｍを求めてみよ．
２ｍ＋１は奇数であるから
[1]ｍ=3a^2,（ｍ＋１）=2b^2,（２ｍ＋１）=c^2
[2]ｍ=2a^2,（ｍ＋１）=3b^2,（２ｍ＋１）=c^2
[3]ｍ=2a^2,（ｍ＋１）=b^2,（２ｍ＋１）=3c^2
[4]ｍ=a^2,（ｍ＋１）=6b^2,（２ｍ＋１）=c^2
[5]ｍ=6a^2,（ｍ＋１）=b^2,（２ｍ＋１）=c^2
[6]ｍ=a^2,（ｍ＋１）=2b^2,（２ｍ＋１）=3c^2
の6通りが考えられるが、さらに絞り込みは可能と思われる。次回の宿題としたい。
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[1]c^2=6a^2+1,c^2=4b^2-1,2b^2=3a^2+1
[2]c~2=4a^2+1,c^2=^6b^2-1,3b^2=2a^2+1
[3]3c^2=4a^2+1,3c^2=2b^2-1,b^2=2a^2+1
[4]c^2=2a^2+1,c^2=12b^2-1,6b^2=a^2+1
[5]c^2=12a^2+1,c^2=2b^2-1,b^2=6a^2+1
[6]3c^2=2a^2+1,3c^2=4b^2-1,2b^2=a^2+1
有理数解であればc=mt, c=mbを代入したいところであるが・・・
この問題は楕円曲線y^2=x(x+1/2)(x+1)/3上の整数点に帰着させるか、連立ペル方程式に帰着させるか、
後者であれば双曲線上の整数点の問題となる。
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ペル方程式の範囲内と考えられるのは[4][5]
[5]c^2-12a^2=+1,c^2-2b^2=-1,b^2-6a^2=+1
(c,a)=(7,2)
(c,b)=(1,1)
(b,a)=(5,2)
[4]c^2-2a^2=+1,c^2-12b^2=-1,a^2-6b^2=-1
(c,a)=(3,2)
(c,b)解なし
(b,a)解なし
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