【２】アイゼンシュタイン三角形

　ピタゴラス三角形とよく似た三角形に三辺の長さが整数であって，二辺ａ，ｂのあいだの角が１２０°である鈍角三角形があります．一松信先生はこの三角形をアイゼンシュタイン三角形と呼んでいますが，この三角形はピタゴラスの定理の拡張である余弦定理ｃ^2＝ａ^2＋ｂ^2−２ａｂ・ｃｏｓＣより，

　　ａ^2＋ａｂ＋ｂ^2＝ｃ^2

を満たします．

　この一般解は

ａ＝ｋ（ｍ^2−ｎ^2），ｂ＝ｋ（２ｍｎ＋ｎ^2），ｃ＝ｋ（ｍ^2＋ｍｎ＋ｎ^2）

と表現でき，（ａ，ｂ，ｃ）＝（３，５，７），（７，８，１３），（５，１６，１９），（１１，２４，３１），（７．３３，３７），（１３，３５，４３），・・・など無限に存在します．

［定理］７，１３，１９，３１，３７，４３，・・・は３で割ると１余る素数です．３で割ると２余る素数はそのようになりません．

　ディオファントスはａ^2＋ａｂ＋ｂ^2＝ｃ^2を満たすａ，ｂ，ｃをとり，（ｍ，ｎ）＝（ｃ，ａ），（ｃ，ｂ），（ｃ，ａ＋ｂ）の三組からは同一面積（ａ＋ｂ）ａｂｃの直角三角形ができることを示しています．

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　ａ^2−ａｂ＋ｂ^2＝ｃ^2一般解は，

ｃ＝ｍ^2＋ｍｎ＋ｎ^2，ａ＝ｍ^2＋２ｍｎ，ｂ＝ｍ^2−ｎ^2

または

ｃ＝ｍ^2＋ｍｎ＋ｎ^2，ｂ＝ｍ^2＋２ｍｎ，ａ＝２ｍｎ＋ｎ^2

の形になる．

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　一方，ａ^2＋ａｂ＋ｂ^2＝ｃ^2の一般解は

ａ＝（ｍ^2−ｎ^2），ｂ＝（２ｍｎ＋ｎ^2），ｃ＝（ｍ^2＋ｍｎ＋ｎ^2）

　　ａ^2＋ａｂ＋ｂ^2＝ｍ^4−２ｍ^2ｎ^2＋ｎ^4＋２ｍ^3ｎ＋ｍ^2ｎ^2−２ｍｎ^3−ｎ^4＋４ｍ^2ｎ^2＋４ｍｎ^3＋ｎ^4

＝ｍ^4＋２ｍ^3ｎ＋３ｍ^2ｎ^2＋２ｍｎ^3＋ｎ^4

＝（ｍ^2＋ｍｎ＋ｎ^2）^2＝ｃ^2

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