【３】ウォリスの公式の仲間たち（１）

ζ（２）＝Π（１−ｐ-2）-1　＝Πｐ^2／（ｐ^2−１）＝π^2／6

オイラー積のｐ^2を平方数ｎ^2に変えてみると，うまくキャンセルアウトして，無限積は2に収束します．

Πｎ^2／（ｎ^2−１）＝Πｎ／（ｎ−１）・ｎ／（ｎ＋１）

=(2/1・2/3)（3/2・3/4）・・・

=2/1・(2/3・3/2)・（3/4・4/3）・・・→２

これは，ウォリスの公式

Π（２ｎ）^2／（２ｎ−１）（２ｎ＋１）

＝Π２ｎ／（２ｎ−１）・２ｎ／（２ｎ＋１）

＝２／１・２／３・４／３・４／５・６／５・６／７・・・＝π／２

あるいは

Π２ｎ／（２ｎ−１）・２ｎ／（２ｎ＋１）

＝Πｎ／（ｎ−１／２）・ｎ／（ｎ＋１／２）

＝Γ（１／２）／Γ（１）・Γ（３／２）／Γ（１）＝２Γ^2（３／２）＝π／２

の仲間と考えることができます．

ウォリスの公式としては

［０］ ２／π＝Π（２ｎ−１）（２ｎ＋１）／２ｎ・２ｎ

＝（１・３／２・２）（３・５／４・４）（５・７／６・６）・・・

が有名ですが，その仲間達として，

［１］ ３√３／２π＝Π（３ｎ−１）（３ｎ＋１）／３ｎ・３ｎ

＝（２・４／３・３）（５・７／６・６）（８・１０／９・９）・・・

［２］ ２√２／π＝Π（４ｎ−１）（４ｎ＋１）／４ｎ・４ｎ

＝（３・５／４・４）（７・９／８・８）（１１・１３／１２・１２）・・・

［３］５（１０−２√５）^1/2／４π＝Π（５ｎ−１）（５ｎ＋１）／５ｎ・５ｎ

＝（４・６／５・５）（９・１１／１０・１０）（１４・１６／１５・１５）・・・

［４］３／π＝Π（６ｎ−１）（６ｎ＋１）／６ｎ・６ｎ

＝（５・７／６・６）（１１・１３／１２・１２）（１７・１９／１８・１８）・・・

なども知られています．

(証明)

　ｓｉｎｘ／ｘ＝（１−ｘ^2／π^2）（１−ｘ^2／４π^2）（１−ｘ^2／９π^2）・・・

＝Π（１−ｘ^2／ｎ^2π^2）

のｘに

π／２を代入すると→［０］

π／３を代入すると→［１］

π／４を代入すると→［２］

π／５を代入すると→［３］

π／６を代入すると→［４］が得られる．

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