【２】オイラー積の仲間たち

　Πｐ^2／（ｐ^2−１）＝π^2／6

に対して，すべての素数をわたる無限積

　　Π（ｐ^2＋１）／（ｐ^2−１）＝５／３・１０／８・２６／２４・５０／４８・・・＝５／２

が成り立つ．

（証）

　　Π（ｐ^2＋１）／（ｐ^2−１）＝Π（ｐ^4−１）／（ｐ^2−１）^2＝Π（１−１／ｐ^4）／（１−１／ｐ^2）^2

＝ζ（２）^2／ζ（４）

ζ（２）＝π^2／６，ζ（４）＝π^4／９０より

　　Π（ｐ^2＋１）／（ｐ^2−１）＝５／２

同様に，

　　Π（ｐ^4＋１）／（ｐ^4−１）＝Π（ｐ^8−１）／（ｐ^4−１）^2＝Π（１−１／ｐ^8）／（１−１／ｐ^4）^2

＝ζ（４）^2／ζ（８）＝１０９／９０

　これらより，

　　Πｐ^2／（ｐ^2＋１）＝ζ（２）ζ（４）／ζ（２）^2＝ζ（４）／ζ（２）＝π^4／９０・６／π^2＝π^2／１５

　　Πｐ^4／（ｐ^4＋１）＝ζ（４）ζ（８）／ζ（４）^2＝ζ（８）／ζ（４）＝π^8／９４５０・９０／π^4＝π^4／１０５

が得られる．

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