【３】無限級数（３）

［１］１＋２＋３＋４＋５＋・・・からは三角数１，３，６，１０，１５，・・・が得られる．一般項はｎ（ｎ＋１）／２＝（ｎ^2＋ｎ）／２

［２］１＋３＋５＋７＋１１＋・・・からは四角数１，４，９，１６，２５，・・・が得られる．一般項はｎ^2＝（２ｎ^2−０ｎ）／２

［３］１＋４＋７＋１０＋１３＋・・・からは五角数１，５，１２，２２，３５，・・・が得られる．一般項は（３ｎ^2−ｎ）／２

［４］１＋５＋９＋１３＋１７＋・・・からは六角数１，６，１５，２８，４５，・・・が得られる．一般項は（４ｎ^2−２ｎ）／２

四角数の逆数和

Σ１／ｎ^2 ＝１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋１／４^2＋・・・

はπ^2／６に収束する．多角数の逆数和は

［１］三角数：ｎ（ｎ＋１）／２→Σ２／ｎ（ｎ＋１）＝２

［２］四角数：ｎ^2→Σ１／ｎ^2＝π^2／６

［３］五角数：（３ｎ^2−ｎ）／２→Σ２／ｎ（３ｎ−１）＝３ｌｏｇ３−π／√３

Σ２／ｎ（３ｎ−１）　　（ｎ＝１〜）

＝Σ２／（ｎ＋１）（３ｎ＋２）　　（ｎ＝０〜）

＝６Σ１／（ｎ＋１）（ｎ＋２／３）　　（ｎ＝０〜）

＝２Σ｛１／（ｎ＋２／３）−１／（ｎ＋１）｝　　（ｎ＝０〜）

　　Σ｛１／（ｎ＋２／３）−１／（ｎ＋１）｝＝−π／２√３＋ｌｏｇ１２−２｛−１／２・ｌｏｇ１／２−１／２・ｌｏｇ√３／２｝

＝−π／２√３＋２ｌｏｇ２＋ｌｏｇ３−ｌｏｇ２＋（１／２・ｌｏｇ３−ｌｏｇ２）

＝−π／２√３＋３／２・ｌｏｇ３

　したがって，

　Σ２／ｎ（３ｎ−１）＝３ｌｏｇ３−π／√３

［４］六角数：２ｎ^2−ｎ→Σ１／２ｎ（２ｎ−１）＝２ｌｏｇ２

［５］七角数：ｎ（５ｎ−３）／２→Σ２／ｎ（５ｎ−３）＝π／３・（１−２／√５）^1/2＋５／６・ｌｏｇ５−√５／３・ｌｏｇ（φ）

［６］八角数：ｎ（６ｎ−４）／２→Σ２／ｎ（６ｎ−４）π／４√３＋３／４・ｌｏｇ３

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