１８世紀以前は具体的な数値からなる級数の値を求めることが当時の偉大な数学者たちの関心の的であり，中心的な問題でもあった．案外，俺はこんな級数の値を求めたといって自慢しあう感じだったのではないかと思われる．

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【１】無限級数（１）

幾何級数

Σ１／２^n＝１／２＋１／４＋１／８＋・・・＝１

に関係する無限級数から始めてみたい．

［Ｑ］Σｎ／２^n＝１／２＋２／４＋３／８＋・・・＝？

［Ａ］２

　Ｓ＝Σｎ／２^n＝１／２＋２／４＋３／８＋・・・＋ｎ／２^n

　　１／２・Ｓ＝　　　　　１／４＋２／８＋３／１６＋・・・＋ｎ／２^n+1

辺々差し引くと

　　１／２・Ｓ＝（１／２＋１／４＋１／８＋１／１６＋・・・＋１／２^n）−ｎ／２^n+1

ｎ→∞のとき

（１／２＋１／４＋１／８＋１／１６＋・・・＋１／２^n）→１

ｎ／２^n+1→０

したがって，Ｓ→２

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［Ｑ］Σｎ^2／２^n＝１／２＋4／４＋9／８＋・・・＝６

　Ｔ＝Σｎ^2／２^n＝１／２＋４／４＋９／８＋・・・＋ｎ^2／２^n

　　１／２・Ｔ＝　　　　　　１／４＋４／８＋９／１６＋・・・＋ｎ^2／２^n+1

辺々差し引くと

　　１／２・Ｔ＝（１／２＋３／４＋５／８＋７／１６＋・・・＋（２ｎ−１）／２^n）−ｎ^2／２^n+1

　ここで，２ｎ−１＝ｎ^2−（ｎ−１）^2である．

ｎ→∞のとき

（１／２＋３／４＋５／８＋７／１６＋・・・＋（２ｎ−１）／２^n）

＝２Σｎ／２^n−Σ１／２^n→２・２−１＝３

ｎ^2／２^n+1→０

したがって，Ｔ→６

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［Ｑ］Σｎ^3／２^n＝１／２＋８／４＋２７／８＋・・・＝２６

［Ｑ］Σｎ^4／２^n＝１５０

も，同様の方法で得ることができる．

［Ｑ］Σ１／ｎ・２^n＝ｌｏｇ２

［Ｑ］Σ１／ｎ^2・２^n＝π^2／１２−１／２・（ｌｏｇ２）^2

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