２＝１^2＋１^2

３＝

５＝２^2＋１^2

７＝

１１＝

１３＝３^2＋１^2

１７＝

１９＝

２３＝４^2＋１^2

２９＝５^2＋２^2

３１＝

３７＝６^2＋１^2

４１＝５^2＋４^2

４３＝

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［１］フェルマーの定理（２平方和定理）

　特別な素数である２を除外して，素数は４で割ると余りが１になるもの（５，１３，１７，２９，３７，４１，・・・）と３になるもの（３，７，１１，１９，２３，３１，・・・）の２種類に分けられます．

このうち，４ｎ＋１の形の素数は２つの整数の平方の和として表されます．たとえば，５＝１^2＋２^2，１３＝２^2＋３^2，１７＝１^2＋４^2，２９＝２^2＋５^2

しかし，４ｎ＋３の形の素数は１つもこのようには表せないのです．この定理はフェルマーの定理と呼ばれ，フェルマーは無限降下法でこれを証明しました．しかし，その証明は不十分で，１００年後のオイラーによって完全な証明がなされています．

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２平方和定理は「４で割ると１余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2＋ｙ^2となる自然数が存在する」でしたが，フェルマーは，

「ｐが８で割ると１または３余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2＋２ｙ^2」

「ｐが８で割ると１または７余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2−２ｙ^2」

「ｐが３で割ると１余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2＋３ｙ^2」

となる自然数ｘ，ｙが存在することも発見しています．

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