すべての偶数の完全数は

　　２^p-1（２^p−１）

で表されます（ユークリッド）．

　ただし，ｐおよび２^p−１が素数（メルセンス素数）でなければなりません．

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　２^n×２^n−１＝４^n−１＝（４−１）（４^n-1＋４^n-2＋・・・＋１）であるから，２^n×２^n−１は３で割り切れる．

　　２^n×２^n＝１　　（ｍｏｄ３）

　　２^n＝＋１，２^n-1＝−１　　（ｍｏｄ３）

　　２^n＝−１，２^n-1＝＋１　　（ｍｏｄ３）

　２^n−１は素数であるから，

　　２^n−１＝−２＝１，２^n-1＝＋１　　（ｍｏｄ３）

　したがって，６を除く偶数の完全数を９で割ると１あまる．

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［Q］完全数の末尾の数は６または８

２^n-1の末尾の数　　　２^n−１の末尾の数

　　　２　　　　　　　　　　　３

　　　４　　　　　　　　　　　７

　　　８　　　　　　　　　　　５（これは素数にはならない）

　　　６　　　　　　　　　　　１

以上により、完全数の末尾の数は６または８

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