【３】円積分の加法定理

円積分の逆正弦関数を

　　u=arcsinx=∫(0,x)1/(1-t^2)^(1/2)dt=F(x)

と定義するとx=sinuですが，三角関数の加法定理

　　sin2u=2sinucosu=2sinu(1-sin^2u)^1/2=2x(1-x^2)^1/2

　　sin(u+v)=sinucosv+cosusinv =x(1-y^2)^1/2+y(1-x^2)^1/2

より，

　　2u=arcsin(2x(1-x^2)^1/2)

　　u+v=arcsin(x(1-y^2)^1/2+y(1-x^2)^1/2)

したがって，

　　2 F(x)=F(2x(1-x^2)^1/2)

F(x)+F(y)= F(x(1-y^2)^1/2+y(1-x^2)^1/2)

が成り立ちます．2x(1-x^2)^1/2はｘから四則演算および平方根により得られますので，この式は定規とコンパスだけで円弧長を２倍にする作図が可能であることを示しています．

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