【２】フルヴィッツによる証明

「周長Ｌの等しい平面領域で，最大の面積Ｓをもつものは円である．」

これを別の表現にしたものが，等周不等式

　「Ｌ^2≧４πＳ　　　等号は円に対してのみ成り立つ．」

です．

（証明)

閉曲線（Ｘ（ｓ），Ｙ（ｓ））　　（０≦ｓ≦Ｌ）が囲む領域の面積は

　　Ｓ＝１／２∫(0,L)（ＸｄＹ／ｄｓ−ＹｄＸ／ｄｓ）ｄｓ

　　Ｌ＝∫(0,L)｛（ｄＸ／ｄｓ）^2＋（ｄＹ／ｄｓ）^2｝^1/2ｄｓ

周期Ｌの任意の関数は

　　Ｘ（ｓ）＝ａ0／２＋Σａkｃｏｓ（２πｋｓ／Ｌ）＋Σｂkｓｉｎ（２πｋｓ／Ｌ）

　　Ｙ（ｓ）＝ｃ0／２＋Σｃkｃｏｓ（２πｋｓ／Ｌ）＋Σｄkｓｉｎ（２πｋｓ／Ｌ）

と表される．これらをＳ＝・・・，Ｌ＝・・・に代入して整理すると

　　Ｌ＝Σ２π^2ｋ^2／Ｌ・（ａk^2＋ｂk^2＋ｃk^2＋ｄk^2）

　　Ｓ＝Σπｋ・（ａkｄk−ｂkｃk）

　　Ｌ^2／４π−Ｓ

＝Σπｋ^2／２・（ａk^2＋ｂk^2＋ｃk^2＋ｄk^2）−Σπｋ（ａkｄk−ｂkｃk）

≧Σπｋ／２・（ａk^2＋ｂk^2＋ｃk^2＋ｄk^2）−Σπｋ・（ａkｄk−ｂkｃk）

＝Σπｋ／２・｛（ａk−ｄk）^2＋（ｂk＋ｃk）^2｝≧０

　等号はｋ＝1についてａk＝ｄk，ｂk＝-ｃk

ｋ≧２についてａk＝ｂk＝ｃk＝ｄk＝０

Ｘ（ｓ）＝ａ0／２＋ａ1ｃｏｓ（２πｓ／Ｌ）＋ｂ1ｓｉｎ（２πｓ／Ｌ）

　Ｙ（ｓ）＝ｃ0／２-ｂ1ｃｏｓ（２πｋ／Ｌ）+ａ1ｓｉｎ（２ｓ／Ｌ）

これは（ａ0，ｃ0）を中心とする円の方程式である．すなわち円のときに限る．

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