【３】フーリエ級数と解析学

　テイラー展開（ベキ級数展開）は連続な関数にしか適用できないのに対して，フーリエ展開（三角級数展開）はたとえ不連続な関数でも存在するため，１９世紀の解析学に大きな貢献をしるしました．たとえば，

［１］ ｆ（ｘ）＝ｘ，[−π，π]

を周期関数と見なした不連続関数のフーリエ展開は

　　ｆ（ｘ）＝２［ｓｉｎｘ／１−ｓｉｎ２ｘ／２＋ｓｉｎ３ｘ／３−・・・］

ｘ＝π／２とおくと，

　　π／４＝１−１／３＋１／５−１／７＋−・・・（グレゴリー・ライプニッツ級数）

また，ｘ＝π／４とおくと

　　π√２／４＝１＋１／３−１／５−１／７＋＋・・・

この式で，符号は２項毎に交代する．

［２］ ｆ（ｘ）＝ｘ^2，[−π，π]

を周期関数と見なした場合のフーリエ展開は

　　ｆ（ｘ）＝π^2／３−４［ｃｏｓｘ／１^2−ｃｏｓ２ｘ／２^2＋ｃｏｓ３ｘ／３^2−・・・］

ｘ＝πとおくと，

　　π^2／６＝１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋・・・（オイラー級数）

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