【３】パップスの定理

　半径ａと半径ｂ（ｂ＜ａ）の同心円に挟まれた円環状部分の面積は

　　πａ^2−πｂ^2

で与えられますが，この図形は２次元の円に幅をもたせたものと考えることができます．そこで，帯の幅（ａ−ｂ）に重心（原点からの距離：（ａ＋ｂ）／２）が描く円周長２π（ａ＋ｂ）／２を乗ずると

　　円周長×幅＝２π（ａ＋ｂ）／２×（ａ−ｂ）＝πａ^2−πｂ^2

となって同じ値が得られます．

　円を円と交わらない軸を中心にして３次元空間内で回転させるとトーラス（円環面）が得られます．半径ｂの円を３次元空間内で半径ａで回転させたトーラスの場合，

　　表面積＝円周長２πｂ×円周長２πａ＝４π^2ａｂ

　　体積＝断面積πｂ^2×円周長２πａ＝２π^2ａｂ^2

で表すことができます．すなわち，体積・表面積とも太さと長さの積で表せるというわけです．円周率が２つ入っていますが，この意味はトーラスは環状に並べられた円であることにほかなりません．

（第１定理）回転体の体積は元になる図形の面積とその図形の重心が移動した距離の積になる．

（第２定理）表面積は図形の周となっている曲線の重心の移動距離とその図形の周長との積になる．

これらは円だけでなくあらゆる回転体について成り立つ回転体の体積と表面積に関する定理であり，４世紀前半に精力的に活動した数学者パップスにちなんで「パップスの定理」と呼ばれています．

（Ｑ１）三角形の重心は底辺から高さの１／３のところにあるが，それでは半円の重心はどこにあるのだろうか？

（Ａ１）パップスの第１定理を逆に使って求めてみよう．直径を軸として半円を回転させると球になる．アルキメデスによれば球の体積は

　　４／３πｒ^3

　一方，パップスによればこの体積は半円の面積１／２πｒ^2と半円が回転したときの重心の移動距離２πｄの積に等しい（重心と円の中心との距離をｄとする）．したがって，

　　ｄ＝４ｒ／３π＝０．４２ｒ

（Ｑ２）半径ｒの半円形をした針金の重心は？

（Ａ２）パップスの第２定理より，重心の移動距離２πｄと半円の長さπｒの積は球の表面積４πｒ^2は等しくなる．したがって

　　ｄ＝２ｒ／π＝０．６４ｒ

これらの問題は積分を使っても解くことができますが，パップスの定理を使った方が圧倒的に簡単です．また，パップスの定理は円が曲線に沿って移動するような軌跡問題などにも応用することができます．この回転体の体積や表面積についての定理はパップスが言及し，後になってスイスの数学者ギュルダンによって証明が試みられました．そのため今日ではパップス・ギュルダンの定理と呼ばれています．

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「雑感」

トーラスの体積・表面積の解答を自力で見つけて感動を覚え，それが次の興味に繋がったという経験をお持ちの読者も少なくないでしょう．トーラスを同心円の積層であることを自力でみつける姿勢は必要でしょうし，わかるということの喜びを体験することができる素材なのです．

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