【４】ｎ（≧５）次元の正多胞体

　ｎ次元正多胞体の二胞角δは

　｛３，３，・・・，３｝→ｃｏｓδ＝１／ｎ　　（７５．５°＜δ＜９０°）

　｛３，３，・・・，４｝→ｃｏｓδ＝−（ｎ−２）／ｎ　　（１２０°＜δ＜１８０°）

　｛４，３，・・・，３｝→ｃｏｓδ＝０　　（δ＝９０°）

である．

［１］｛３，３，・・，３｝を用いるならば，ひとつのｎ−３次元面にそれを３個集めることができる→｛３，３，・・，３，３｝，（３，３，・・，３，４｝

［２］｛４，３，・・，３｝を用いるならば，ひとつのｎ−３次元面にそれを３個集めることができる→｛４，３，・・３，３｝

　ｎ（≧５）次元正多胞体は最大でも３つしかないことが理解される．５次元以上のｄ次元の場合は，２ｄ個の頂点と２d 個の辺をもつ双対立方体（三次元では正八面体），２d 個の頂点と２ｄ個の辺をもつ立方体，ｄ＋１個の頂点とｄ＋１個の辺をもつ正単体（三次元では正四面体）の３つですべての正多面体をつくしている．

３次元の場合はこれらの他に２つの正多面体＜正十二面体と正二十面体＞があり，４次元の場合は他に３つあるといったほうがわかりやすいと思われる．３次元の正多面体は５種類であり，４次元以上でも３種類しかないのに，４次元では６種類もあることは四次元の不思議ともいうべき事実であろう．

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