【３】複合多面体の双対性

星形６角形では内側に正６角形ができますが，外側のとがった角を結んでも正６角形ができます．すなわち，星形６角形は外側を正６角形が取り囲んでいて，内側にも正６角形が入っていることがわかります．それでは，ここでクイズです．

（問）同じ大きさの正４面体２個を天地逆転させて，辺の中点同士が一致するように重ねた場合（それぞれの辺が直角に２等分されるように配置した場合），その外側と内側にはどのような立体ができるでしょうか？

この問題はダビデの星の３次元版です．頭の中でイメージできれば答は簡単なのですが，勘の働きにくい問題でもあります．上から見ても，前から見ても，横から見ても，同じ６角形に見える３次元図形を想像されたのではないでしょうか？　正解は，同じ大きさの正４面体２個による複合多面体で，ケプラーの８角星という名前がつけられていて，外側に立方体，内側に正８面体をもっています．

（答）正８面体を芯として，このとき，ケプラーの８角星の頂点は立方体の頂点をなすというのが正解です．

立方体と正８面体，正１２面体と正２０面体の複合多面体についても考えてみると，立方体と正８面体の場合は，外側を菱形１２面体が，内側には立方８面体が入っています．正１２面体と正２０面体の場合では，外側を包む立体が菱形３０面体，内側には２０・１２面体という多面体が内包されているのです．

正多面体とその双対多面体との共通部分は，正８面体，立方８面体，２０・１２面体です．したがって，菱形十二面体は立方体と正八面体，菱形三十面体は正十二面体と正二十面体を合成した立体ということができます．菱形十二面体の稜は立方体の対角線方向（４方向）を向いていて，対角線の長さの比が１：√２の菱形からなる１２面体ですが，菱形三十面体の稜は正二十面体の６本の主対角線方向にあり，対角線の比が黄金比の菱形多面体になるというわけです．

　３種類の複合多面体−−正４面体と正４面体，立方体と正８面体，正１２面体と正２０面体−−について調べてみると，それぞれの立体の間に双対関係があり，３種類の複合多面体の外側にできる立体と内側にできる立体−−立方体と正８面体，菱形１２面体と立方８面体，菱形３０面体と２０・１２面体も互いに双対関係をもっていることがわかります．そして，これらもやはり複合多面体をつくることができ，そしてまたそこに現れてくる外側と内側の立体も双対関係になっています．自然界の法則性，自然が作るきれいな関係の１例といえましょう．

なお，高次元の純アルキメデス多胞体のなかには三位一体性（鼎対性，triality）を例外的に示すことがあることが知られています．

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