【６】ミンコフスキーの敷石定理と原始的平行多面体

平行多面体による空間充填形はもっと高い次元の立方格子の３次元への射影になっている．平行多面体のうち１４面体は切頂８面体だけであるが，切頂八面体には６組の平行な辺があり，６次元立方体と相同と考えることができる．切頂８面体（ｆ＝１４，ｄ＝６）の辺を点に縮めることによって，長菱形１２面体（ｆ＝１２，ｄ＝５）→菱形１２面体（ｆ＝１２，ｄ＝４），６角柱（ｆ＝８，ｄ＝４）→立方体（ｆ＝６，ｄ＝３）ができる．すなわち，６角柱，菱形１２面体は４次元立方体，長菱形１２面体は５次元立方体，切頂８面体は６次元立方体を３次元空間に投影したものとなっていて，空間充填図形の基本形（primitive）は切頂８面体と考えることができる．同様に２次元充填の基本形は平行６角形である．

２次元充填の基本形は平行6角形，３次元充填の基本形は１４面体であることはわかったが，それでは４次元，５次元，・・・，ｎ次元での空間充填多面体の基本形はどうなるのだろう？　どのような形になるのかを知る人はたとえいたとしても非常に少ないであろう．そこで（証明抜きで）次元論の敷石定理について解説する．

「ｎ次元の舗石定理」

［１］ｎ次元空間充填では，各頂点の周りに少なくともｎ＋１個の多面体が集まる（ルベーグ）．

［２］ｎ＋１個のとき，空間充填の基本細胞の面数は最大２（２^n−１）個である（ミンコフスキー）．

　すなわち，平行多面体の最多面数は２次元では６角形，３次元では１４面体，４次元では３０胞体，５次元では６２房体となるのである．2次元の平行6角形，３次元の切頂八面体などprimitiveによる空間充填は安定なハニカム構造を形成する．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝