【５】平行多面体(フェドロフ立体)

誰でも幼少時にレゴブロックで遊んだことがあるに違いない．レゴの基本単位を次々につけ足していくと自動車になったり，飛行機になったり・・・基本単位が大きいため，少し目線を引いて遠くから眺めなければ滑らかな形には見えないが，できあがった概形は四角形にも六角形にも不定形にもなり得る．その意味で，レゴ・ブロックはすべての形の素と考えられる．

自然界にもレゴ・ブロックに相当するものが存在する．自然界のレゴ・ブロックの概念は，はじめディリクレによって２次元で提出され（ディリクレ領域，１８５０年），その後，ボロノイによって３次元に拡張された（ボロノイ領域，１９０８年）．研究分野によりいろいろな呼び名が使われているが，それは生物・無生物を問わず存在し，生物の場合は細胞であるし，結晶学分野ではウィグナー・ザイツセルという呼び名も用いられている．細胞（セル）の図と非常に似ているためであろう．

１種類のブロックを使って，空間を隙間なく埋め尽くすにはどうすればいいだろうか？　レンガはそのひとつの答えなのであるが，どんな形のブロックなら空間を埋め尽くせるだろうか？　そのようなブロックをすべて求めよという問題ならこれは大変な難問である．

　そこで，平行多面体に限定して考えてみよう．平行多面体とは辺が平行（したがって平行四辺形面，平行六辺形面に限られる），面が平行，そして平行移動するだけで３次元空間を埋めつくすことのできる単独の多面体である．

ロシアの結晶学者フェドロフは，３次元空間において，平行移動だけで決まる本質的なボロノイ領域は，たった５種類しかないという構築原理発見した（１８８５年）．この５種類のボロノイ領域とは，立方体，６角柱，菱形１２面体，長菱形１２面体，切頂８面体であって，「平行多面体」と総称される．

立方体は単独で空間全体を格子状に埋めつくすことができる．単純立方格子状配置，すなわち角砂糖の箱の封を切ったときに見えるパターンについてはこれ以上説明するまでもないだろう．立方体以外の単一多面体による空間充填体としては，菱形十二面体や切頂八面体がよく知られている．両者はしばしば対比され，どちらも単独で空間充填可能な立体図形であるが，菱形十二面体が面心立方格子のボロノイ図であるのに対して，切頂八面体は体心立方格子のボロノイ図となっている．

平行多面体は結晶（金属結晶や鉱物結晶）でよくみられる構造である．菱形１２面体はザクロ石（ガーネット）にみられる．立方体は単純立方格子のボロノイ領域で，平行六面体は方解石にみられる．六角柱はコランダム（ルビー・サファイア），歯のエナメル質などにみられるが，長菱形１２面体はあまりみられないから平行多面体の異端児である．

２３０種類ある結晶もたった５種類のウィグナー・ザイツセルで概構成することができるので，これら５種類の図形は５種類の正多面体（プラトン立体）ほどよく知られていないが，少なくとも同じ程度に重要であるし，結晶学の観点からすると平行多面体は正多面体以上に重要である．自然界のレゴ・ブロックと考えられる所以である．

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