【１】正多面体（プラトン立体）

正多面体について第１の問題は何かと問われたならば，正多面体は何種類あるかという問題だろう．プラトンは紀元前３６０年の著作「ティマイオス」のなかで，５つの正多面体について述べている．すなわち，正多面体は正４・６・８・１２・２０面体の５種類あって５種類しかないことはプラトンの時代にはすでに見つけられていて，それらがプラトンの自然哲学で重要な役割を演ずるところから，正多面体はプラトンの立体（Platonic solid）とも呼ばれている．プラトンはこれらの立体を発見したのはテアイトテスなど前の時代のピタゴラス派の数学者たちであって，正多面体がこの５つでつくされるという事実を紹介している．その回答を与えたのが誰かは実はよくわかっていない．

ユークリッドは「原論」の最後の１巻で，正多面体は５種類しか存在し得ないことを証明している．ユークリッドの論法は次の通りである．

［１］正三角形を用いるならば，ひとつの頂点にそれを３個，４個，５個集めることができる（６個ならば平角になってしまう）．

［２］正方形を用いるならば，ひとつの頂点にそれを３個集めることができる（４個ならば平角になってしまう）．

［３］正五角形を用いるならば，ひとつの頂点にそれを３個集めることができる（４個ならば重なってしまう）．

［４］正六角形を用いるならば３個で平角になってしまう（六角形より多くの辺をもつ正多角形を用いることはできない）．

これら５つのケースがそれぞれ

［１］正四面体，正八面体，正二十面体

［２］立方体

［３］正十二面体

に対応しているため，ほかにはないといっているわけである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝