■日本の畳(その1)
ドミノは1×2の長方形で,m×n格子のドミノ被覆に関しては,明白な数え上げ公式があり,たとえば,チェス盤(1辺の長さ8)に対しては12988816通りあることが知られている.
日本の畳も1×2の長方形であるが,ドミノとは違いは4枚の畳が角が交わって十字にならないように(1点で合わないように)敷き詰めるという条件があることである.この敷き方は「祝儀敷き」と呼ばれます.縁起がよいかどうかは別にして,実際,1点に4枚の畳の角が集まるのは不安定な畳敷きであって,畳の敷き方から除外したいところです.
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【1】畳の敷き方数の母関数
Electronic J Combinatorics 16.1 (2009) #R126
によると,畳敷きの母関数は
Tm(z)=ΣT(m,n)z^n=
[1]m=0のとき,1
[2]m=1のとき,1/(1−z^2)
[3]m=2のとき,(1+z^2)1/(1−z−z^3)
[4]mは奇数で,3≦m≦nのとき,
(1+z^m-1+z^m+1)/(1−z^m-1−z^m+1)
[5]mは偶数で,4≦m≦nのとき,
(1+z)(1+z^m-2+z^m)/(1−z^m-1−z^m+1)
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m\n 1 2 3 4 5 6 7 8
1 0 1 0 1 0 1 0 1
2 1 2 3 4 6 9 13 19
3 0 3 0 4 0 6 0 10
4 1 4 4 2 3 3 3 5
5 0 6 0 3 0 2 0 2
6 1 9 6 3 2 2 2 1
7 0 13 0 3 0 2 0 2
8 1 19 10 5 2 1 2 2
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