【５】完全２部グラフＫ3,3の問題

［Ｑ］ガス・水道・電気の３種類のライフラインを３軒の家に交差しないようにつなぐことはできるか？

［Ａ］ｖ＝６，ｅ＝９，３ｖ＝２ｅ

また，各面は少なくとも４つの辺をもたなければならないから，

　　４ｆ≦２ｅ

より，

　　ｖ−ｅ＋ｆ≦２ｅ／３−ｅ＋ｅ／２＝ｅ／６＝１．５＜２

となって矛盾．

［別解］もし，Ｋ3,3が平面的であるならば，ｖ＝６，ｅ＝９．

　　ｆ＝２＋ｅ−ｖ＝５

また，各面は少なくとも４つの辺をもたなければならないから，

　　２０＝４ｆ≦２ｅ＝１８

となって矛盾．

　結局，Ｋ3.3とＫ5を含グラフはどうやっても平面グラフにはならず，失敗に終わる運命にある（クラトウスキーの定理）．

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