平面（球面）上のＫ3,3とＫ5は実現不可能，トーラス面上のＫ3,3とＫ5は実現可能ですが，同様にメビウスの帯の表面（射影平面）上にも描くことができます．

トーラス面上にＫ7を描くことはできますが，Ｋ8を描くことはできません．射影平面上にＫ6を描くことはできますが，Ｋ7を描くことはできません．・・・この辺の事情はいかに？

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【１】２次元多様体の分類定理（１）

　ゴム膜でできた長方形の４辺（または２辺）を適当に貼り合わせることを考えてみましょう．そして，長方形を時計回りに順に一周するようなラベルをつけることにします．すると，１組の対辺だけを向きを保ったまま貼り合わせる操作はａ０ａ^(-1)０と書くことができます．ａ０ａ^(-1)０によって円環ができあがります．ａ０ａ０すなわち１組の対辺を向きを逆にして貼り合わせる操作によって，メビウスの帯ができあがります．円環の境界は２本の円周ですが，メビウスの帯の境界は１本の円周です．

同様に，ａｂｂ^(-1)ａ^(-1)からは球面，ａｂａ^(-1)ｂ^(-1)からは輪環面（トーラス），ａｂａｂ^(-1)からはクラインの壷，ａｂａｂからは射影平面が得られます．クラインの壷と射影平面は３次元ユークリッド空間の中では描けませんが，４次元空間考えると自己交差なしに重ね合わせることができます．また，イメージするのは難しいのですが，射影平面はメビウスの帯と円板とを縁に沿って貼り合わせたものと同相です．

　円環，球面，輪環面は表から裏に行くことはありませんが，メビウスの帯，クラインの壷，射影平面では縁を越えることなしに曲面の裏側にたどりつきます．こういう面を向きづけ不可能な曲面といいます．

　これら６種類はすべて２次元多様体の例です．そして，コンパクトな２次元多様体はどんなものでも，円環，メビウスの帯，球面Ｓ，輪環面Ｔ，クラインの壷Ｋ，射影平面Ｐの６つのものを適当に連結和したものと同相になることが知られています．これが２次元多様体の分類定理ですが，３次元以上の多様体に関してはこのような分類定理は存在しません．

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