【２】ｇ個の穴があいたトーラス面上の地図の塗り分け

　これを証明したヒーウッドは，さらにｇ個の穴があいたトーラス上の地図に関するオイラーの公式

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２−２ｇ

を利用して

(1)２個の穴があいているトーラス上の地図はどれも８色で塗り分けられる

(2)３個の穴があいているトーラス上の地図はどれも９色で塗り分けられる

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(3)１０個の穴があいているトーラス上の地図はどれも１４色で塗り分けられる

に引き続いて，

(4)ｇ個の穴があいているトーラス上の地図はどれもＨ（ｇ）色で塗り分けられる

　　Ｈ（ｇ）＝［｛７＋√（１＋４８ｇ）｝／２］

を証明した．

　［・］はガウス記号で，

　　ｇ：１，２，３，　４，　５，　６，　７，　８，　９，１０

　　Ｈ：７，８，９，１０，１１，１２，１２，１３，１３，１４

となるのであるが，ヒーウッドはｇ≧２に対してそのような地図が実在することを示すことはできなかったため，この問題は「ヒーウッド予想」と呼ばれることになった．

　１９６８年，リンゲルとヤングスは，ｇ個の穴のあいているトーラス上にこれだけの色を必要とする地図が存在することを証明した．ヒーウッド予想（１８９０年）が最終的に証明されるまでには７７年もの歳月が必要だったというわけである．

　ヒーウッドの式はｇが正の数の場合にしか適用できないのであるが，仮にｇ＝０を代入するとＨ（０）＝４となって，穴のあいていないトーラスすなわち球の表面に置かれた地図を塗り分けるために必要な色の数を正しく導き出すことができる．しかし，残念ながらこれは偶然の一致であり，ヒーウッド予想の証明から四色定理を導くことはできない．結局，ヒーウッドは五色定理を鮮やかに証明できても，四色定理を証明することはできなかった．したがって，平面・球面上の四色問題よりも先に，トーラス上の地図の塗り分けには７色必要であることが証明されたことになる．

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