（Ａ）泡細胞の合胞体は，シュレーフリ記号｛ｐ，ｑ，ｒ｝で表記され，各頂点にｐ角形がｑ面集まる多面体が各辺にｒ個集まる，すなわち，多面体（ｐ，ｑ）の各面が２つの（ｐ，ｑ）に属し，各辺がｒ個の（ｐ，ｑ）に属すとします．

　［参］コクセターの「最密充填と泡」に関する論文

　　Coxeter: Close packing and froth, Illinois Journal of Mathematics 2, 746-758 (1958)

によると，頂点の周囲は４直角未満ですから, (ｐ, ｑ)についての不等式

　　２ｑ（１−２／ｐ）＜４, すなわち, １／ｐ＋１／ｑ＞１／２　　　が必要条件ですし, （ｑ, ｒ）についても同様ですから, ｐ，ｑ，ｒに関する不等式

　　１／ｐ＋１／ｑ＞１／２　　　（ｐ，ｑ≧３）

　　１／ｑ＋１／ｒ＞１／２　　　（ｑ，ｒ≧３）

さらに，有限群であるという条件が付加されるとスタインバーグの公式より，２次不等式

　　ｐ−４／ｐ＋２ｑ＋ｒ−４／ｒ＜１２

　　ｐ−４／ｐ＜１２−２ｑ−ｒ＋４／ｒ

　　ｐ^2−（１２−２ｑ−ｒ＋４／ｒ）ｐ−４＜０

が得られます．

泡細胞の合胞体の場合，１個の頂点に３個の辺が集まり，１本の辺の周りに３個の泡細胞が会することから，ｑ＝ｒ＝３とおくと

　　ｐ^2−（１３／３）ｐ−４＜０

　　ｐ＜（１３＋√３１３）／６＝５．１１５３

多面体の頂点，辺，面の数をそれぞれｖ，ｅ，ｆとすると，ｐｆ＝２ｅ，ｑｖ＝２ｅが成り立ちます．さらに，ｖ＋ｆ＝ｅ＋２（オイラーの多面体定理）が成り立ちますから

　　１／ｅ＝１／ｐ＋１／ｑ−１／２

　　ｖ＝４ｐ／（２ｐ＋２ｑ−ｐｑ），

　　ｅ＝２ｐｑ／（２ｐ＋２ｑ−ｐｑ），

　　ｆ＝４ｑ／（２ｐ＋２ｑ−ｐｑ）

となります．ｑ＝３で，球面をｐ角形で覆うとしたら，

　　ｆ＝１２／（６−ｐ）

　　ｖ＝４ｐ／（６−ｐ）

　　ｅ＝６ｐ／（６−ｐ）

ｐ=（１３＋√３１３）／６を代入すると

　　ｆ＝（２３＋√３１３）／３＝１３．５６４

　　ｖ＝２（１７＋√３１３）／３＝２３．１２８

　　ｅ＝１７＋√３１３＝３４．６９２

こうして，泡の平均の姿は２３．１２８個の頂点，３４．６９２本の辺，１３．５６４枚の面からなる面が５．１１５３角形の立体となることがわかります．平均的な泡細胞は１４面体に近いものになるというわけです．

１８８７年，ケルビン卿（ウィリアム・トムソン）は１４面体の集合によって空間を満たすことができ，そのときの界面積は菱形十二面体で満たしたときより小さいことを発見しました（ケルビン問題の解）．このことから１４面体は表面張力を最小とする空間分割構造であると考えることができます．ケルビンの１４面体は，３対の合同な四角形の面と４対の合同な６角形の面とで囲まれています．最も簡単な場合は，６個の正方形と８個の正六角形とからなり，すべての辺の長さが等しいものが切頂八面体です．切頂八面体は１３種ある準正多面体（アルキメデス体）のひとつです．

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