オイラーの多面体定理

ｖ−ｅ＋ｆ＝２

が物理的作用と結びつくと，興味のある幾何学的効果が出現してきます．たとえば，２次元的にランダムに配列した石鹸の泡はいろいろなサイズの泡細胞からなっていますが，表面張力の要請から境界長を極小化しようとしますから，接合角度は１２０°となります．このことから，石鹸の泡は各頂点の次数がすべて３である平面図形と考えることができます．１個の頂点に３個の辺が集まり，１本の辺の周りに２個の泡細胞が合するというわけです．

また，互いに１２０°の角度で交わる石鹸膜の交線は

　　ａｒｃｃｏｓ（−１／３）＝１０９．４７１°

で接触します．正四面体の頂点から中心に向かう３枚の膜は互いに１２０°の角度をなし，中心に集まる４本の線は１０９．４７１°（マラルディの角）をなします．すなわち，３次元では１個の頂点に４個の辺が集まり，１本の辺の周りに３個の泡細胞が会するというのが空間分割の局所条件です．

　このように，１２０°と１０９．４７１°は石鹸膜が接触するときの基本的な角度ですが，それにより

［１］２次元泡細胞の辺数の平均は≦６であり，すべての泡細胞が６辺以上の辺をもつことは不可能である

［２］３次元泡細胞の面数の平均は≦１４であり，すべての泡細胞が１４面以上の面をもつことは不可能である

したがって，２次元細胞の多くは６角形であり，３次元細胞の多くには１４面体となります．

　ところで，コクセターは１つの泡に接する泡の数を

　（２３＋√３１３）／３＝１３．５６

と計算し，そのアイデアを日記に記しています．これは２次方程式

　　３ｘ^2−４６ｘ＋７２＝０

の解となっていることが見てとれますが，どのようにして導出されたものなのでしょうか？　このことは，オイラーの多面体定理を使って証明されます．

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