【４】オイラー・ポアンカレの定理

４次元の凸多胞体では胞の個数をｃとすると，オイラー数はｖ−ｅ＋ｆ−ｃであり，ｖ−ｅ＋ｆ−ｃ＝0　　（シュレーフリの定理）

が成り立ちます．

逆に，２次元の多角形では，オイラー数はｖ−ｅであり，

　　ｖ−ｅ＝０

ですから，ｎ角形は必然的にｎ辺形になります．私はこれまで「ｎ角形はｎ辺形である」をまともに取り上げている数学書はみたことがありませんが，ｎ角形はｎ辺形であるとはいっても，読者はありがたみを実感し「なるほど立派な定理だ」と思うでしょうか？　おそらく，何だか当たり前のことを大袈裟にいっていると感じるだけでしょう．なかには，そんなことはサルでも知っているといって怒り出す人もいるかも知れません．

　実際，各辺の両端には頂点が１つずつありますから，この定理は自明なのですが，それを３次元に拡張したとたんに自明ではなくなります．　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２　　（オイラーの多面体定理）

は，もはや，サルでも知っている定理とはいえないでしょう．

これらよりｎ次元では推して知るべしですが，ｆ以下ｇ，ｈ，ｉ，・・・と続くとすると

　　ｖ−ｅ＋ｆ−ｇ＋ｈ−ｉ＋・・・＝１±１　　　（オイラー・ポアンカレの定理）

すなわち，オイラー数はｎが奇数のとき２，偶数のとき０になることが理解されます．

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