Mathematical Intelligencer誌の読者が選んだ美しい数学の１０大定理の一番目と二番目には「オイラー」がランクされています．一番目は数学で最も基本的な数とされるｅ，ｉ，π，０，１がひとつの式の中に美しく現れている眼のくらむようなオイラーの関係式：

　　ｅ^iπ＋１＝０

です．ｅの虚数乗とはこれいかにと驚かされますが， スターが一堂に会したこれ以上の豪華な顔合わせは望むべくもありません．

二番目は，３次元凸多面体の頂点，辺，面の数をそれぞれｖ，ｅ，ｆとすると，

ｖ−ｅ＋ｆ＝２　　（オイラーの多面体定理）

が成り立つというものです．たとえば，正八面体ではｆ＝８，ｖ＝６，ｅ＝１２．切頂２０面体ではｆ＝３２（正五角形１２枚，正六角形２０枚），ｖ＝６０，ｅ＝９０でオイラーの公式が成り立っていますが，正多面体に限らず任意の凸多面体について常に成立する公式です．オイラーは晩年の１７年間はまったくの盲目でしたが，それにもかかわらず非常に多くの定理，公式を発見していて，量（ｖ−ｅ＋ｆ）はオイラー数と呼ばれます．

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【１】位相不変量

位相幾何学（トポロジー）とは形には関係しないで，接触・分離にだけ関係する不変な図形の性質（位相不変量）を研究する学問です．そして，曲面を曲げたり伸ばしたりの連続変形を施しても変わらないtopological invariant の代表的な例がオイラーの多面体公式：ｖ−ｅ＋ｆ＝２です．これは３次元立体について，０次元の特性数であるｖ，１次元の特性数であるｅ，２次元の特性数であるｆの関係を述べたものと解釈されます．

オイラー数は幾何学において重要な概念である位相不変量の草分けであり，オイラーの多面体定理を利用すると，

　　１）どの面も同数の辺で囲まれている．

　　２）どの頂点にも同数の辺が集まっている．

という仮定をするだけで，正多角形であるという仮定をまったくせずとも正多面体は５種類しかないことを証明することができます．

　これが実に役立つ公式で，たとえばオイラーの多面体定理で示される制限から，正多面体は５種類しかないとか，すべての面が六角形であるような多面体は存在しないという結論，単一の凸ｎ角形で平面を敷き詰めるものはｎ≧７では存在しないこと，２次元以上ですべての頂点の次数が６以上となることは不可能であり，必ず次数が５以下の頂点をもつこと，また，３次元では面数の平均は≦１４であることなどが導き出されます．

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