【５】パスカルの円錐曲線定理の拡張

　オイラーの定理の重要な系がパスカルの拡張形定理「２つの３次曲線が９点で交わっているとき，９点中６点がひとつの２次曲線上にあれば，残りの３点は１直線上にある」です．

(証)円錐曲線上に６点を定める．３次曲線Ｅ1，Ｅ2がこれら６点を通るとき，Ｅ1，Ｅ2はさらに３点Ｒ，Ｓ，Ｔで交差するが，これらの交点は同一直線上にあることを証明してみます．交点は勝手な配置が許されるのではなく，拘束条件を満たすように配置されるのですが，この定理の場合，円錐曲線：Ｑ（ｘ，ｙ）＝０，Ｅ1：Ｆ（ｘ，ｙ）＝０，Ｅ2＝Ｇ（ｘ，ｙ）＝０，Ｒ，Ｓを通る直線：Ｌ（ｘ，ｙ）＝０とすると，

　　Ｇ（ｘ，ｙ）＝λＦ（ｘ，ｙ）＋μＱ（ｘ，ｙ）Ｌ（ｘ，ｙ）

の形で与えられることから，Ｒ，Ｓ，Ｔが直線上に並ぶことが証明されます．

　３次曲線Ｅ1，Ｅ2は一般に９個の交点をもちますから，パスカルの定理はこれより得られます．また，パップスの定理も３次曲線が直線に退化した特別な場合：（ａｘ＋ｂｙ＋ｃ）（ｄｘ＋ｅｙ＋ｆ）（ｇｘ＋ｈｙ＋ｉ）＝０とみなすことができます．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝