【２】２次曲線の射影変換

２変数ｘ，ｙの多項式ｆ（ｘ，ｙ）＝０で定義される曲線を平面代数曲線と呼びます．ｆ（ｘ，ｙ）＝０が２次式の場合，その一般式は，項数６の多項式

ａｘ2 ＋ｈｘｙ＋ｂｙ2 ＋ｃｘ＋ｄｙ＋ｅ＝０

として書くことができます．

２次曲線には楕円，放物線，双曲線があり，それらは円錐（必ずしも直円錐でなくてよい）を平面で切断したときの切り口として現れる一群の曲線，すなわち円錐曲線です．

ここで，射影変換（直線を直線に移す円板の非ユークリッド幾何学的な変換）により，

　　ｘ’＝（ａｘ＋ｂｙ＋ｃ）／（ｕｘ＋ｖｙ＋ｗ）

　　ｙ’＝（ｄｘ＋ｅｙ＋ｆ）／（ｕｘ＋ｖｙ＋ｗ）

を考えます．たとえば，

　　X＝２ｘ／（１＋ｙ）

　　Y＝（１−ｙ）／（１＋ｙ）

と変数変換すると単位円X^2＋Y^2＝１は放物線ｙ＝ｘ^2になり

　　X＝２／（ｘ＋ｙ）

　　Y＝（−ｘ＋ｙ）／（ｘ＋ｙ）

と変数変換すると単位円X^2＋Y^2＝１は双曲線ｘｙ＝１になります．この変換によって２点間の距離や２直線の交差する角度は保たれませんが，直線は直線に，２次曲線は２次曲線に変換され，直線が２次曲線に接している状況は保存されます．これが射影幾何学の視点であって，この変換によって，射影平面上では円錐曲線はただ１種類しかなく，双曲線・放物線・楕円などの区別はなく，無限遠直線と交わらない，接する，交わるの違いだけであって，どれも同種の曲線となります．

２次曲線は円（離心率ｅ＝０）として生まれ，楕円に育ち，放物線（ｅ＝１）で相転移して双曲線になる．漸近線のなす角度は最初鋭角だがだんだん大きくなり，１８０°になった時点（ｅ＝∞）で虚領域に入る．そして再び円に生まれ変わる．楕円の面積は有限，放物線の面積は∞，この考え方を延長すると双曲線の面積は虚数ということになる・・・というのがケプラーの原理です．

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