【４】ヴィーフェリッヒの定理

次のブレークスルーは，ヴィーフェリッヒの定理（１９０９年）です．　「フェルマー方程式ｘ^p＋ｙ^p＝ｚ^pが非自明解をもつためには，ｐはヴィーフェリッヒ素数であることが必要である」

ヴィーフェリッヒ判定基準とは

　　（２^(p-1)−１）／ｐ＝０　　　（ｍｏｄ　ｐ）

すなわち，２^(p-1)−１はｐ^2で割り切れるというものです．フェルマーの小定理より（２^(p-1)−１）／ｐは整数となりますが，非常に稀にこの整数がｐの倍数になることがあり，そのときｐをヴィーフェリッヒ素数といいます．

ヴィーフェリッヒの定理

　フェルマー方程式ｘ^p＋ｙ^p＝ｚ^pが非自明解をもつためには，ｐはヴィーフェリッヒ素数であることが必要である．

　　（２^(p-1)−１）／ｐ＝０　　　（ｍｏｄ　ｐ）

ヴィーフェリッヒ素数はｐ＝１０９３，３５１１が知られています．２つのヴィーフェリッヒ素数−１を２進数に変換すると

　　１０９２＝１０００１０００１００

　　３５１０＝１１０１１０１１０１１０

のように奇妙なパターンがみられるのだそうです．

ヴィーフェリッヒの定理により，フェルマーの最終定理の証明は驚くほど簡単になりました．６・１０^9以下ではｐ＝１０９３，３５１１だけがこの判定基準を満たし．ｘｙｚがｐで割り切れない場合，この２つについてだけ調べればよいことになるからです．

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【５】ミリマノフの定理

　１９１０年，ミリマノフは

「フェルマー方程式ｘ^p＋ｙ^p＝ｚ^pが非自明解をもつためには，ｐはミリマノフ素数であることが必要である」をつけ加えています．

　　（３^(p-1)−１）／ｐ＝０　　　（ｍｏｄ　ｐ）

すなわち，３^(p-1)−１はｐ^2で割り切れるというものですが，（３^(p-1)−１）／ｐが整数となるｐとしてｐ＝１１，１００６００３が知られています．また，５^(p-1)−１がｐ^2で割り切れるｐとしてはｐ＝１８８７４８１４６８０１が知られています．

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