【３】楕円曲線の射影変換

　ｆ（ｘ，ｙ）＝０が３次式のとき，その曲線上に特異点と呼ばれる点が存在するかどうかで，曲線のもつ性質が大きく異なってきます．特異点があれば，適当なパラメータｔによりｘ，ｙはｔの多項式として表されます．ｘとｙがｔの有理式として表されるとき，有理曲線となり，２次曲線とよく似た性質をもちます．一方，特異点がなければ，楕円曲線と呼ばれる非有理曲線で２次曲線とは本質的に異なってきます．２次曲線はすべて有理曲線ですが，楕円曲線は有理曲線でないことが知られています．

３次曲線は，射影変換を用いれば次のいずれかに変換されます．

　　(1)ｙ^2＝ｘ^3

　　(2)ｙ^2＝ｘ^2（ｘ−１）

　　(3)ｙ^2＝ｘ（ｘ−１）（ｘ−λ）

(1)は「く」の字型曲線で原点で尖点をもちます．(2)は「の」の字型曲線で原点を通ったところでループを描いて自分自身と交差しますから，原点が２重点となります．(3)はループと弓形曲線の２つに分離します．すなわち，(1)(2)は特異点をもち，(3)は非特異です．したがって，滑らかな非特異３次曲線は(3)の形に表せます．これらは特異点による分類といってもよいのですが，射影変換によって互いに写り合う３次曲線は同型とみなされます．(3)の３次曲線：

ｙ^2＝ｘ（ｘ−１）（ｘ−λ）

のｊ-不変量は

　　ｊ（λ）＝２^8（λ^2−λ＋１）^3／λ^2（λ−１）^2

によって定義されます．λ＝−１のときｊ＝１７２８，λ＝−ζ6（１の６乗根）のときｊ＝０となります．

ｊ（λ）＝ｊ（１−λ）＝ｊ（１／λ）

　＝ｊ（１−１／λ）＝ｊ（１／（１−λ））＝ｊ（λ／（１−λ））

が成り立つこと，すなわち，有理関数

　　（λ^2−λ＋１）^3／λ^2（λ−１）^2

が本質的であって，係数２^8には本質的な意味はありません．

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