【４】円周率の現代史

［１］ラマヌジャン級数

　　１／π＝２√２／９９^2Σ（４ｋ）（１１０３＋２６３９０ｋ）／（４^k９９^kｋ！）^4

は不思議な式です．右辺のΣ以降はともかくとして

　　２π√２＝９９^2／１１０３

だけでも，私にはその意味を見抜くことができません．収束は早いのですが，長い間，証明されなかった理由がそこにあります．

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［２］ＢＢＰ公式

１９９６年に，ベイリー，ボールウェイン，プラウフによりＢＢＰ公式が見いだされました．

　　π＝Σ１／１６^n（４／（８ｎ＋１）−２／（８ｎ＋４）−１／（８ｎ＋５）−１／（８ｎ＋６））

はコンピュータを使って，コンピュータのために発見された異色の式といえます．

この公式の不思議な点は，円周率を１６進法で表すとき，任意の桁（たとえば１０００桁目）を直接計算できるという点です．自己修正できるとでもいうべきか，たとえば，５２７桁目で間違えようと，その後の計算は無効にならず，１０００桁目は正しいのです．

円周率πの計算や巨大な素数の発見はコンピュータシステムの信頼性や処理速度といった性能をテストするのに最適ですが，ＢＢＰ公式は１６進法に特化していて，ＢＢＰ公式を使うと任意の位置にある数を非常に効率よく求めることができ，たとえば，πを２進数展開したとき１０００兆桁目の数字は何か？　ｎ番目の桁をそれ以前のｎ−１番目の桁を計算することなしに直接計算できるのです．求めるのは小数部分だけですから整数部分はどんどんカットしながら計算していけばよいので，計算が簡単になるのです．ただし，修正できるのは１６進計算した場合のみで，いまのところ，１０進法で使えるような公式は発見されていません．

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