【３】best possible

この方法はもっとも標準的な解法ですが，正八角形の周長だと次のようになります．

　　π＞８ｓｉｎ２２．５°＝８｛（１−ｃｏｓ４５°）／２｝^1/2

　　π＞４｛２−√２｝^1/2＝３．０６１４７

正多角形の周長の代わりに面積を用いて大小比較する場合，単位円に内接する正ｎ角形の面積は

　　Ｓ1＝1/２・ｎｓｉｎ（2π／ｎ）

また，外接する場合，

　　Ｓ2＝ｎｔａｎ（π／ｎ）

ですが，正１２角形でも足りず，正２４角形について検討する必要があります．

つまり，アルキメデスのとった正6角形の周長から始める攻略法はbest possibleであったというわけです．アルキメデスは正多角形の辺数を２倍に増やす方法を知っていたので，計算はかなり面倒になりますが，６→１２→２４→４８→９６と辛抱強く繰り返し，最終的に正９６角形を使って，πの近似値を求めたのです．

　　３・１０／７１＜π＜３・１／７

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正９６角形に引き続いて，円の正多角形近似，すなわち，１９２，３８４，７６８，・・・など弧の２等分を繰り返すことによって辺の数を増してπの値が計算されました．２６３年に劉徽の書いた注釈書には３０７２角形を使って３．１４１６という値を得ています．

　ルドルフは正２^42角形の周を計算して円周率を３５桁計算するために一生を費やしました．しかし，円の正多角形近似によって得られるπでは大幅な精度の向上は期待できず，１７世紀まで注目すべき進歩はみられませんでした．

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