【２】東大入試問題から

ところで，２００３年の東大入試問題に，

　　π＞３．０５

を証明せよという問題が出題されたそうですが，もし高校生ならば，どれだけπの値を計算できるでしょうか？

半径１の円に正十二角形を内接させると，その周長は

　　２４ｓｉｎ１５°

半角の公式を憶えていれば，直ちに，

　　ｓｉｎ１５°＝（√６−√２）／４

を得ることができますが，すっかり忘れてしまったものとしましょう．しかし，心配はご無用です．普段使っている三角定規には２種類あり，辺の長さの比１：１：√２（角度は４５°，４５°，９０°）と１：√３：２（角度は３０°，６０°，９０°）ですが．後者の直角三角形の長さ√３の辺を斜辺の長さ2だけ延長させた１：２＋√３：ｘ（15°，75°，９０°）の直角三角形に対して，ピタゴラスの定理を利用して

１^2＋（２＋√３）^2＝ｘ^2

より，ｓｉｎ１５°＝（√６−√２）／４を求めることができます．これより，

　　π＞３（√６−√２）＝３．１０５８３＞３．１

を証明することができます．

同様に，半径１の円に正十二角形を外接させると，その周長は

　　２４ｔａｎ１５°

　　ｔａｎ１５°＝１／（２＋√３）＝２−√３

より，

π＜１２（２−√３）＝３．２１５３９

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