【４】調和級数の整除性

　ｎ番目の調和数を

　　Ｈn＝１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＋１／ｎ

と定義すると，Ｈ1=1,Ｈ2=3/2,Ｈ3=11/6,･･･,Ｈ∞=∞となります．それでは，・・・

（Ｑ）ｎ＞１ならば，Ｈn は整数にはならないことを示せ．

　たとえば，分母が２のべき乗になっている項のうちで，その指数が最大のものを考えると，それと組になる項がどこにもありません．このことから，Ｈnは分子が奇数で，分母が偶数の分数になるのですが，このことをきちんとした形で書いてみましょう．

（証）２^k≦ｎとなる最大の指数をｋ，Ｐをｎ以下のすべての奇数の積とすると，

　　２^(k-1)ＰＨn

　＝２^(k-1)Ｐ（１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＋１／ｎ）

は，２^(k-1)Ｐ／２^k以外の項はすべて整数となる．

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（Ｑ）Ｓn＝１／１＋１／３＋１／５＋１／７＋・・・＋１／（２ｎ＋１）

と定義すると，Ｓ1=1,Ｓ2=4/3,Ｓ3=23/15,･･･,Ｓ∞=∞となります．それでは，ｎ＞１ならば，Ｓn は整数にはならないことを示せ．

（証）３^k≦２ｎ＋１となる最大の指数をｋ，Ｐを６と互いに素かつ２ｎ＋１以下のすべての整数の積とすると，

　　３^(k-1)ＰＳn

　＝３^(k-1)Ｐ（１／１＋１／３＋１／５＋１／７＋・・・＋１／（２ｎ＋１））

は，３^(k-1)Ｐ／３^k以外の項はすべて整数となる．

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