平方数の逆数の和

　１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋１／４^2＋１／５^2＋１／６^2＋１／７^2＋・・・＝π^2／６＜２

は収束しますが，自然数の逆数の和（調和級数）は発散します．

　１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋１／５＋１／６＋１／７＋・・・＝∞

（証）

１／３＋１／４＞１／４＋１／４＝１／２

１／５＋１／６＋１／７＋１／８＞１／８＋１／８＋１／８＋１／８＝１／２

　奇数項だけを集めて作った級数は，調和級数よりも増加の速度は遅いものの発散します．

　　１／１ ＋１／３ ＋１／５ ＋１／７ ＋・・・

　＞１／２＋１／４＋１／６＋１／８＋・・・

　＝１／２（１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・）→∞

同様に，偶数項だけ集めて作った級数も収束せず無限大に発散します．

　１／２＋１／４＋１／６＋・・・

＝２（１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋１／５＋１／６＋１／７＋・・・）→∞

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