【５】ゴールドバッハの公式

ゼータ関数と関連して，ゴールドバッハの公式を取り上げます．

ｘ^y　　（ｘ≧２，ｙ≧２）

の形で表される数をベキ乗数と呼びます．

［１］２のベキ乗からなる集合｛2,4,8,16,32,64,128,256,・・・｝の逆数和は

　　１/２+１/４+１/８＋１/１６＋１/３２＋１/６４＋・・・→１

［２］３のベキ乗からなる集合 ｛3,9,27,81,243,729,・・・｝の逆数和は

　　１/３+１/９+１/２７＋１/８１＋１/２４３＋１/７２９＋・・・→１/２

［３］４のベキ乗からなる集合 ｛4,16,64,256,・・・｝の逆数和は

　　１/４+１/１６＋１/６４＋１/２５６４＋・・・→１/３

［４］５のベキ乗からなる集合の逆数和は→１/４

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ここで，ベキ乗数の和集合

　　｛ａn｝＝｛１，４，８，９，１６，２５，２７，３２，３６，・・・｝

を考えます．ただし，２^4＝４^2のような重複は１回だけ数えることにします．累乗数ａ^bについて，１６＝２^4＝４^2は特異な関係で，これ以外のどんな数もａ^b≠ｂ^aであるからです．

ゴールドバッハの公式とは

　　Σ１／（ａn−１）＝１　　（ｎ≧２）

すなわち，

　　１＝１／３＋１／７＋１／８＋１／１５＋１／２４＋１／２６＋１／３１＋１／３５＋・・・

(証)

Ｎ＝｛2,3,4,5,6,x^y,・・・｝

Ｐ＝｛ｘ^y: (ｘ≧２，ｙ≧２）}

Ｑ＝｛非ベキ: 2,3,4,5,6，・・・｝

Σ1/（Ｐ-1）＝Σ1/（Ｎ-1）-Σ1/（Ｑ-1）

Σ1/（Ｑ-1）＝ΣΣ1/Ｑ^k=Σ1/Ｎ

したがって，

Σ1/（ｘ^y-1）＝Σ1/（Ｎ-1）-Σ1/（Ｑ-1）

Σ1/（Ｑ-1）＝ΣΣ1/Ｑ^k＝Σ1/Ｎ

Σ1/（ｘ^y-1）＝Σ1/（Ｎ-1）-Σ1/（Ｑ-1）＝Σ1/（Ｎ-1）-Σ1/Ｎ

＝Σ｛1/（Ｎ-1）-Σ1/Ｎ｝＝1

　同様に，

　　Σ１／（ａn＋１）＝π^2／３−５／２　　（ｎ≧２）

すなわち，

　　π^2／３−５／２＝１／５＋１／９＋１／１０＋１／１７＋１／２６＋１／２８＋１／３３＋１／３７＋・・・

が成り立つことも証明されている．

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［補足］２^x＝ｘ^2　　（ｘ≠２）が成り立つためには

　　ｘ＝２^a　→　２^a＝2a　→　２^a-1＝a 　（a≠１）→　a=2　→　２^4＝４^2

以下，ｐ（≧３）が素数の場合だけ考えればよい．

ｐ^x＝ｘ^p　　（ｘ≠ｐ）が成り立つためには

　　ｘ＝ｐ^a　→　ｐ^a＝ｐa　→　ｐ^a-1＝a 　（a≠１）→　これを満たすｐは存在しない

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