■無限級数(その3)
漸化式
ζ(2)ζ(2n−2)+ζ(4)ζ(2n−4)+・・・+ζ(2n−4)ζ(4)+ζ(2n−2)ζ(2)=(n+1/2)ζ(2n)
を使う方法も考えられます.
ζ(2)=π^2/6を初期値として使えば,
[1]n=2
ζ(2)ζ(2)=5/2・ζ(4)
ζ(4)=2/5・{ζ(2)}^2=1/5・π^4/36=π^4/90
[2]n=3
ζ(2)ζ(4)+ζ(4)ζ(2)=7/2・ζ(6)
ζ(6)=2/7・2ζ(2)ζ(4)=4/7・π^6/540=π^6/945
[3]n=4
ζ(2)ζ(6)+ζ(4)ζ(4)+ζ(6)ζ(2)=9/2・ζ(8)
ζ(8)=2/9・{2ζ(2)ζ(6)+ζ(4)ζ(4)}=2/9・{π^8/2835+π^8/8100}
=2/9・1/81・{π^8/35+π^8/100}
=2/9・1/81・{20π^8/700+7π^8/700}
=54/9・1/81・π^8/700=π^8/9450
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