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２次方程式：

　　ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ＝０

の根の公式：

　　ｘ＝（−ｂ±√Ｄ）／２ａ，Ｄ＝ｂ^2−４ａｃ

は紀元前二千年頃のバビロニアで求められています．この公式は，根を与えられた2次方程式の係数の加減乗除および根号をとるという手続きのみを用いて書かれています．

１次方程式を解くために有理数（分数）を考え，２次方程式を解くために無理数と複素数を考え，実数から複素数へと数の世界は拡大されました．ガウスが１７９９年に証明した代数学の基本定理によって，ｎ次方程式はｎがどんな値のときでも複素数の範囲で根の存在は保証されています．それでは，ｎ次方程式の根の公式の場合も，係数についての加減乗除とｎ乗根（ｎ≧２）をとるという手続きのみを用いて表すことができるでしょうか？　ここでは根の公式の存在証明をとりあげます．

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【１】３次方程式の根の公式

３次方程式は１６世紀（１５１５年〜１５４０年ころ）になって，フォンタナ（タルタリアというのはどもる人という意味で彼のニックネームだった）によって，根の公式が求められています．

ａｘ3 ＋ｂｘ2 ＋ｃｘ＋ｄ＝０

に対してｘ’＝ｘ＋ｂ ／３ａ と変換するとｘ2 の項が０である方程式

ｘ^3＝ｐｘ＋ｑ

に還元できます．

ここで，因数分解の公式

　　ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3−３ａｂｃ

　＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2−ａｂ−ｂｃ−ｃａ）

　＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂω＋ｃω^2）（ａ＋ｂω^2＋ｃω）

が使えそうです．ωは１の３乗根：{(-1+√(-3)}/2であり，

　　ω^3＝１

また，

　　ｘ^3−１＝（ｘ−１）（ｘ^2＋ｘ＋１）

　　　　　　＝（ｘ−１）（ｘ−ω）（ｘ−ω^2）

と因数分解できますから，ω^2＋ω＋１＝０を満たしています．

　　ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3−３ａｂｃ＝ａ^3−３ｂｃａ＋（ｂ^3＋ｃ^3）

ａ^3＝３ｂｃａ−（ｂ^3＋ｃ^3）

として，係数を比較すると，既知の数ｐ，ｑに対して

　　ｐ＝３ｂｃ，

　　ｑ＝−（ｂ^3＋ｃ^3）

を満たすｂ，ｃが求められれば，

　　ｕ＝−（ｂ＋ｃ），−（ｂω＋ｃω^2），−（ｂω^2＋ｃω）

より，解

　　ｘ＝−ｂ／３ａ−（ｂ＋ｃ）

　　ｘ＝−ｂ／３ａ−（ｂω＋ｃω^2）

　　ｘ＝−ｂ／３ａ−（ｂω^2＋ｃω）

が得られたことになります．

その解はカルダノの公式

　　ｘ＝3√Ａ＋3√Ｂ

　　Ａ＝ｑ／２＋√（（ｑ／２）^2−（ｐ／３）^3）

　　Ｂ＝ｑ／２−√（（ｑ／２）^2−（ｐ／３）^3）

で与えられます．カルダノの方法として知られている３次方程式の根の公式は，実はカルダノではなくフォンタナ（通称タルタリア）の発見した解法であるというエピソードはいろいろな数学史の書物に取り上げられているのでご存じの方も多いと思われます．

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【２】４次方程式の根の公式

４次方程式の場合も，フェラーリによって肯定的に解かれ，根の公式が求められています．フェラーリは次数４の方程式は２次方程式と３次方程式に帰着させることができ，したがって平方根と立方根によって解けることを発見しました．この４次方程式の根の公式は荘厳（いかめしい？)すぎて，とても憶える気になりませんし，また，憶えられる代物でもありません．

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