【４】ラマヌジャンのクイズを超えて

　　√（１＋√（１＋√（１＋√（１＋・・・））））＝φ　　（黄金比）

　　√（２＋√（２＋√（２＋√（２＋・・・））））＝２

は，それぞれ

　　√（１＋ｘ）＝ｘ　→　ｘ^2−ｘ−１＝０

　　√（２＋ｘ）＝ｘ　→　ｘ^2−ｘ−２＝０

として２次方程式の解より求めることができる．また，

　　√（１＋２√（１＋３√（１＋４√（１＋・・・））））＝３

である．それでは，

［Ｑ］　　√（１＋√（２＋√（３＋√（４＋・・・））））＝？

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［証］この収束値を具体的に求めることはできませんが，収束することは以下のようにして証明できます．

　　ａn＝√（１＋√（１＋√（１＋√（１＋・・・＋√１））））　　　（１がｎ個）

　　ｂn＝√（１＋√（２＋√（３＋√（４＋・・・＋√ｎ））））

とおく．

　数列｛ａn｝はφに収束する．

　　√（１＋√（１＋√（１＋√（１＋・・・））））＝φ　　（黄金比）

数列｛ｂn｝は単調増加．

　また，

　　ａn＝√（１＋√（１＋√（１＋√（１＋・・＋√１））））

の両辺の√２をかけると

　　√２ａn＝√（２＋√（４＋√（１６＋・・＋√２^(2^n-1)））））

　　ｋ＜２^2^(k-1)

より，ｂn＜√２ａn

　単調増加数列｛ｂn｝は有界で，ｎ→∞のとき収束することがわかります．

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