【３】ラマヌジャンが編み出した数学上の技巧

　２次方程式：ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ＝０の解の公式は次式で与えられる．

　　ｘ＝（−ｂ±√（ｂ^2−４ａｃ））／２ａ

　根号の中の式を平方数の差とみれば２項に因数分解することができ，以下のようにも表現できる．

　　ｘ＝ｍ2／２ｍ1±｛（ｍ2＋２√ｍ1ｍ3）（ｍ2−２√ｍ1ｍ3）｝^1/2／２ｍ1

　ラマヌジャンは中学時代に根号の中の式を書き換えて

　　ａ（ａ＋２）＝ａ√（ａ＋２）^2＝ａ√（１＋（ａ＋１）（ａ＋３））

　＝ａ√（１＋（ａ＋１）√（１＋（ａ＋２）（ａ＋３））＝・・・

を発見した．ここでａ＝１とすると求める値が３であることがわかる．

　ラマヌジャンはさらにより一般的な恒等式

　　ｘ＋ｎ＋ａ＝√（ａｘ＋（ｎ＋ａ）^2＋ｘ√（ａ（ｎ＋ｘ）＋（ｎ＋ａ）^2＋（ｘ＋ｎ）√・・・）））

を発見している．

　ラマヌジャンのクイズは，ここでｘ＝２，ｎ＝１，ａ＝０とした場合である．

　　√（１＋２√（１＋３√（１＋４√（１＋・・・））））＝３

　また，ｘ＝２，ｎ＝１，ａ＝１とすると

　　√（６＋２√（７＋３√（８＋４√（９＋・・・））））＝４

になることがわかる．

　　√（１−√（１−１／２√（１−１／４√（１−１／８√１−・・・））））＝１／２

　　3√（−６＋3√（−６＋3√（−６＋3√（−６＋・・・））））＝−２

もラマヌジャンの式である．

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