古代ギリシャのピタゴラス学派は√２や黄金比(1+√５)/２を発見し，それらが有理数ではないことを知って驚きましたが，超越数の研究が本格的に始まったのは，１８４４年，リューヴィルによる超越数の発見以後のことです．

説明するまでもないかもしれないが，整数の比で表せない数を無理数（例：√２）と呼びます．いい換えれば，整数係数の１次式の根にはならない数が無理数なのです．無理数の中でも，整数係数多項式の根となる数が代数的数（例：3√５はｘ^3−５＝０の根）であり，それに対して，超越数とは整数係数のどのような代数方程式の根にもならない数（例：π，ｅ）のことです．

数には整数，分数，根号数，超越数などの種類があり，整数，有理数，代数的数，実数という階層をなしているというわけです．整数，分数，根号数は数直線のうちのほんのわずかな部分を占めるにすぎず，数直線上の数の大部分を占めるのはπやｅなどの超越数です．超越数は無理数であり，無理数のほとんどは超越数であることが証明されています．実数から無作為にひとつ数を選ぶとしたら，それは超越数であって，無理数は超越数の候補ではありますが，超越数とは別の由来をもち，次元の異なる数なのです．

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