【５】フルヴィッツ

　複素数ｘ＝ａ＋ｂｉの絶対値は｜ｘ｜2 ＝ａ2 ＋ｂ2 ＝（ａ＋ｂｉ）（ａ−ｂｉ）で与えられますが，ここで，数の体系に「積のベクトルの大きさはベクトルの大きさの積に等しい」という条件が要請されているとしましょう．

　複素数ｘ＝ａ＋ｂｉとｙ＝ｃ＋ｄｉの積

ｘｙ＝（ａ＋ｂｉ）（ｃ＋ｄｉ）＝（ａｃ−ｂｄ）＋（ａｄ＋ｂｃ）ｉ

は同じ空間内のベクトルとして表されますが，（ａ2 ＋ｂ2 ）（ｃ2 ＋ｄ2 ）＝（ａｃ−ｂｄ）2 ＋（ａｄ＋ｂｃ）2 より，｜ｘ｜・｜ｙ｜＝｜ｘｙ｜が満たされていることがわかります．

フィボナッチの等式としてよく知られている恒等式（ａ2 ＋ｂ2 ）（ｃ2 ＋ｄ2 ）＝（ａｃ−ｂｄ）2 ＋（ａｄ＋ｂｃ）2 は簡単に確認できます．この公式は２つの整数がともに平方数の和の形をしているなら，その２数の積も平方数で表されることを示していて，複素数と２平方和問題との関連を示しています．

また，４平方和問題（ａ2 ＋ｂ2 ＋ｃ2 ＋ｄ2 ）（ｐ2 ＋ｑ2 ＋ｒ2 ＋ｓ2 ）＝ｘ2 ＋ｙ2 ＋ｚ2 ＋ｗ2 は

ｘ＝ａｐ＋ｂｑ＋ｃｒ＋ｄｓ，

ｙ＝ａｑ−ｂｐ＋ｃｓ−ｄｒ，

ｚ＝ａｒ−ｂｓ−ｃｐ＋ｄｑ，

ｗ＝ａｓ＋ｂｒ−ｃｑ−ｄｐ

とおくと成り立ち，４つの平方数の和となっている数は積の演算で閉じていることを示しています．

しかし，３平方和問題（ａ2 ＋ｂ2 ＋ｃ2 ）（ｘ2 ＋ｙ2 ＋ｚ2 ）＝ｕ2 ＋ｖ2 ＋ｗ2 は２平方和，４平方和の場合のようなわけにはいきません．３平方和の積が必ずしも３平方和とならないからです．

　｜ａ｜・｜ｂ｜＝｜ｃ｜，すなわち

（ａ12＋ａ22＋・・・＋ａn2）（ｂ12＋ｂ22＋・・・＋ｂn2）＝（ｃ12＋ｃ22＋・・・＋ｃn2）

の恒等式はｎ＝１，２，４，８に対してだけ満たされるという驚くべき結果が１９世紀末，フルヴィッツにより証明されています（１８９８年）．

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