【４】ケイリー

　ハミルトンの有名な四元数は複素数の拡張ですが，さらに，イギリスの数学者ケイリーによって８個の基底元１，ｉ，ｊ，ｋ，ｌ，ｍ，ｎ，ｏをもつ代数＜八元数＞も発明されました（１８４５年）．

ｉ2 ＝ｊ2 ＝ｋ2 ＝ｌ2 ＝ｍ2 ＝ｎ2 ＝ｏ2 ＝－１，

ｉ＝ｊｋ＝ｌｍ＝ｏｎ＝－ｋｊ＝－ｍｌ＝－ｎｏ，

ｊ＝ｋｉ＝ｌｎ＝ｍｏ＝－ｉｋ＝－ｎｌ＝－ｏｍ，

ｋ＝ｉｊ＝ｌｏ＝ｎｍ＝－ｊｉ＝－ｏｌ＝－ｍｎ，

ｌ＝ｍｉ＝ｎｊ＝ｏｋ＝－ｉｍ＝－ｊｎ＝－ｋｏ，

ｍ＝ｉｌ＝ｏｊ＝ｋｎ＝－ｌｉ＝－ｊｏ＝－ｎｋ，

ｎ＝ｊｌ＝ｉｏ＝ｍｋ＝－ｌｊ＝－ｏｉ＝－ｋｍ，

ｏ＝ｎｉ＝ｊｍ＝ｋｌ＝－ｉｎ＝－ｍｊ＝－ｌｋ

八元数では，乗法の結合法則も破れていて（ａ（ｂｃ）≠（ａｂ）ｃ），現在では幾何学の分類などに応用されています．さらに，１６個の基底元をもつ同様の代数を構成しようと試みられましたが，それは成功するはずはありませんでした．

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