【１】カルダノ

　複素数は難解とか複雑な数ということではなく，実数と虚数という二つの項をもつ数（ｘ＋ｙｉ）のことで，ｙ＝０ならばこの数は実数ｘになります．複素数はすでに１６世紀に３次方程式の解の公式を発見したカルダノなどによって使用されていました．

３次方程式：ｘ^3＝ｐｘ＋ｑの解は，カルダノの公式

　　ｘ＝3√Ａ＋3√Ｂ

　　Ａ＝ｑ／２＋√（（ｑ／２）^2−（ｐ／３）^3）

　　Ｂ＝ｑ／２−√（（ｑ／２）^2−（ｐ／３）^3）

で与えられます．

　　ｘ^3＝１５ｘ＋４の場合，

　　Ａ＝２＋√（２^2−５^3）＝２＋√（−１２１）＝２＋１１ｉ

　　Ｂ＝２−√（２^2−５^3）＝２−√（−１２１）＝２−１１ｉ

　　ｘ＝3√Ａ＋3√Ｂ＝3√（２＋１１ｉ）−3√（２−１１ｉ）

となります．

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ボンベリは，カルダノによる３次方程式の解法を

　　ｘ^3−１５ｘ−４＝０

に適用すると

　　ｘ＝3√（２＋１１ｉ）＋3√（２−１１ｉ）

しかるに，この方程式は明らかにｘ＝４を根にもっているので，

４＝3√（２＋１１ｉ）＋3√（２−１１ｉ）

という実数＝複素数？という奇妙な関係式が成り立つことに気づきました．

　　ｘ^3−１５ｘ−４＝（ｘ−４）（ｘ^2＋４ｘ＋１）＝０

ｘ^2＋４ｘ＋１＝０は２つの虚数解をもつので，ｘ＝４でなければならないからです．

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実は

　（２＋ｉ）^3＝２＋１１ｉ，（２−ｉ）^3＝２−１１ｉ

という簡単な関係式が成り立つので，３乗根を外せば

　　４＝（２＋ｉ）＋（２−ｉ）

が成り立つのです．同様に

［１］ｘ＝（√（２８／２７）＋１）^1/3−（√（２８／２７）−１）^1/3は整数である

　ｘ^3を計算するとｘ^3＝２−ｘが成り立つことより，ｘ＝１はひとつの実数解となる．（ｘ−１）（ｘ^2＋ｘ＋２）＝０において，ｘ^2＋ｘ＋２＝０は２つの虚数解をもつので，ｘ＝１でなければならない．カルダノの公式においてｐ＝−１，ｑ＝２の場合に相当している．

［２］ｘ＝（√（６５／６４）＋１）^1/3−（√（６５／６４）−１）^1/3は整数でない

　ｘ^3を計算すると４ｘ^3＝８−３ｘが成り立つことより，ｘ（４ｘ^2＋３）＝８．８≧４ｘ^2＋３≧３より，０＜ｘ＜３／８．ここでｘが整数なら，ｘ＝１または２となるが，いずれも４ｘ^3＋３ｘ−８＝０を満たさない．

カルダノの頃までは代数方程式は実係数のものしか考えなかったばかりでなく，実数解しか考えなかったし，負根は本当の根とは考えられていませんでした．√−１を表す記号ｉを使い始めたのはオイラーですが，カルダノからベルヌーイとオイラーまで２００年間はほとんどだれも複素数の研究をしませんでした．

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