【３】√３のディオファントス近似とペル方程式

ａn^2−３ｂn^2＝−１

は解をもちませんが，

ａn^2−３ｂn^2＝１

が成り立つ最小解は（ａ，ｂ）＝（２，１）であることから，√３に収束する分数列を構成すると

　　（２＋√３）^n＝ａn＋ｂn√３

　　（２−√３）^n＝ａn−ｂn√３

より

　　ａn+1＋√３ｂn+1＝（２＋√３）（ａn＋√３ｂn）

　　　　　　　　　　＝（２ａn＋３ｂn）＋√３（ａn＋２ｂn）

　　ａn+1＝２ａn＋３ｂn

　　ｂn+1＝ａn＋２ｂn

　　ａn+1＝４ａn−ａn-1，ｂn+1＝４ｂn−ｂn-1

α，βを２次方程式ｘ^2−４ｘ＋１＝０の根２±√３として，初期値をａ1＝１，ａ2＝２，ａ3＝７，ｂ1＝０，ｂ2＝１，ｂ3＝４とすると

　　ａn／ｂn→　√３

となります．

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