【１】√２のディオファントス近似とペル方程式（１）

√２は２つの整数の比ｐ／ｑではないので，√２＝ｐ／ｑすなわちｐ^2＝２ｑ^2になるような２つの整数ｐ，ｑを見つけることはできません．しかし，誤差±１を許すことにすると

　　２ｑ^2＝ｐ^2±１　　（ペル方程式）

なる２つの整数ｐ，ｑを見つけることができます．（ｐ，ｑ）＝（１，１）が最小解ですが，以後（３，２），（７，５），（１７，１２），（４１，２９），（９９，７０），（２３９，１６９）・・・と続いていきます．

　　１^2＋１^2＝１^2＋１

　　２^2＋２^2＝３^2−１

　　５^2＋５^2＝７^2＋１

　　１２^2＋１２^2＝１７^2−１

　　・・・・・・・・・・・・・

このとき，右辺の±１は交互に繰り返し現れます．

これより，√２の最良近似値は1/1,3/2,7/5,17/12,41/29,･･･であることがわかりますが，このような分数を全部求めるには１／１から出発して１＋１＝２が次の分母になり，１＋２＝３が次の分子になる，３＋２＝５が第３の分母，２＋５＝７が第３の分子になる，すなわち，１つ前の分数の分子と分母の和が次の分母になり，ひとつ前の分数の分母を２倍したものとその分子の和が次の分子になり，同様に続いていくという算術的な規則がみつかります．

　1/1↓　↑3/2↓　↑7/5↓　↑17/12↓　↑41/29↓　・・・

このようにすると，ペル方程式：ｐ^2−２ｑ^2＝±１を満たすｐ／ｑがひとつの分数で，Ｐ／Ｑが次の分数だとすると

　　Ｑ＝ｐ＋ｑ，Ｐ＝ｑ＋Ｑ＝ｐ＋２ｑ

　　P^2−２Ｑ^2＝２ｑ^2−ｐ^2＝±１

となって，Ｐ／ＱもまたＰ^2−２Ｑ^2＝±１となる分数を与えることができることになります．１／１から始まって次々に解となる分数を見つけることができるというわけです．

また，この有理数近似数列のある項をp／qとすれば，次の項は

　　Ｐ／Ｑ＝（p＋２q）／（p＋q）

となり，その際，

　　p^2−２q^2＝１とするとP^2−Q^2＝−１

　　p^2−２q^2＝−１とするとP^2−Q^2＝１

になり，交互に符号が変わります．すなわち，√２より交互に大きいか小さいということになります．

ｐ／ｑ→Ｐ／Ｑ＝（ｐ＋２ｑ）／（ｐ＋ｑ）

（−１）　1/1＜7/5＜41/29＜239/169＜・・・＜√２＜・・・＜577/408＜99/70＜17/12＜3/2　（＋１）

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