【５】背理法を使った無理数性の証明

［６］α＝√２＋√３は無理数である

　　α−√２＝√３

の両辺を２乗して，√２について解くと

　　√２＝（α^2−１）／２α

αが有理数だと仮定すると，√２も有理数であることになり矛盾．

［７］α＝3√２＋√２は無理数である

　　α−√２＝3√２

の両辺を３乗して，√２について解くと

　　√２＝（α^3＋６α−２）／（３α^2＋２）

αが有理数だと仮定すると，√２も有理数であることになり矛盾．

［８］α＝√２＋√３＋√５＋√７は無理数である

　　α＝√２＋√３＋√５＋√７が有理数と仮定する．

　　√５＋√７＝α−（√２＋√３）

　　１２＋２√３５＝α^2−２（√２＋√３）α＋５＋２√６

　　２√３５＝α^2−２（√２＋√３）α−７＋２√６

この両辺を２乗すると

　　ａ√２＋ｂ√３＋ｃ√６＝ｄ　　　（ａ，ｂ，ｃ，ｄは有理数）

の形になる．

　　ａ√２＋ｂ√３＝ｄ−ｃ√６　　　（ａ，ｂ，ｃ，ｄは有理数）

　　２（ａｂ＋ｃｄ）√６＝ｄ^2＋６ｃ^2−２ｘａ^2−３ｂ^2

ａｂ＋ｃｄ≠０の証明は割愛するが，αが有理数だと仮定すると，√６も有理数であることになり矛盾．

一般に，ｍkを平方数ではない自然数，ｃkを有理数とするとき，

　　α＝√ｍ1＋√ｍ2＋・・・＋√ｍrは無理数である

　　α＝ｃ1√ｍ1＋ｃ2√ｍ2＋・・・＋ｃr√ｍrは無理数である

［９］ｌｏｇ10２は無理数である

　有理数，したがって

　　ｌｏｇ10２＝ｐ／ｑ

と書けると仮定すると

　　ｑｌｏｇ10２＝ｐ→２^q＝１０^p＝２^p・５^p

同じ数について２通りの素因数分解ができることになり矛盾．

［１０］ｌｏｇ３／ｌｏｇ２は無理数である．

　ｌｏｇ３／ｌｏｇ２は有理数であると仮定する．

　　ｌｏｇ３／ｌｏｇ２＝ｐ／ｑ　→　２^p＝３^q　→　矛盾

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